[论文解读] Kazhdan and Haagerup properties from the median viewpoint

Indira Chatterji, Cornelia Druţu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文建立了中位度量空间与测度墙空间之间的深刻联系，表明 (T) 性质和 Haagerup 性质（即 a-T-可被性）可通过群在中位空间和测度墙结构上的等距作用来刻画。关键贡献在于构建了一个统一框架，将这些几何性质与 $L^p$-空间上的仿射等距作用通过中位结构和墙结构联系起来，从而解决了关于 (T) 性质动力表征的一个开放问题。

ABSTRACT

We prove the existence of a close connection between spaces with measured walls and median metric spaces. We then relate properties (T) and Haagerup (a-T-menability) to actions on median spaces and on spaces with measured walls. This allows us to explore the relationship between the classical properties (T) and Haagerup and their versions using affine isometric actions on $L^p$-spaces. It also allows us to answer an open problem on a dynamical characterization of property (T), generalizing results of Robertson-Steger.

研究动机与目标

• 建立具有测度墙的空间与中位度量空间之间的范畴等价，从而实现群性质的几何重表述。
• 通过群在中位空间和测度墙结构上的作用，提供 Kazhdan 的 (T) 性质与 Haagerup 性质的动力表征。
• 通过将中位空间上的正规与有界群作用与 $L^p$-空间等距作用相联系，推广 Robertson 和 Steger 的结果。
• 解决一个关于使用中位空间与测度墙结构对 (T) 性质进行动力表征的开放问题。
• 证明在中位空间上存在连续且正规的群作用当且仅当具有 a-T-可被性，且存在有界作用蕴含 (T) 性质。

提出的方法

• 通过将任何具有测度墙的空间 $X$ 等距嵌入中位空间，构造其对应的典范中位空间 $\mathcal{M}(X)$。
• 证明每个中位空间均可自然地赋予一个测度墙结构，使得墙度量可恢复原始度量。
• 利用任一中位空间可等距嵌入 $L^1$-空间的事实，并通过 $L^p$-值核将其推广至 $L^p$-空间。
• 从群在中位空间上的等距作用定义类型 1 的核，并证明其平方根对应于类型 2 的核。
• 应用定理 6.25，通过拉回核将中位空间上的连续作用与 $L^p$-空间上的连续作用联系起来。
• 利用测度墙的结构，定义群 $G$-等变的等距嵌入至 $L^p$-空间，特别针对复双曲空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过群在中位空间上的等距作用来刻画 (T) 性质与 Haagerup 性质？
• RQ2 是否存在具有测度墙的空间与中位度量空间之间的典范对应关系，使得群作用与度量得以保持？
• RQ3 群在中位空间上的作用如何与 $L^p$-空间上的仿射等距作用（$p > 0$）相关联？
• RQ4 能否将 (T) 性质的动力表征从实树推广至中位与测度墙结构？
• RQ5 中位空间的 $L^1$-嵌入在刻画 $L^p$-空间作用中起到何种作用？

主要发现

• 每个具有测度墙的空间均可等距嵌入到一个典范中位空间 $\mathcal{M}(X)$ 中，且每个中位空间均可由测度墙结构生成。
• 一个度量是次中位的（即由中位空间诱导）当且仅当它由测度墙结构诱导。
• 复双曲空间 $\mathbb{H}^n_\mathbb{C}$ 具有测度墙结构，使得墙度量为 $\mathrm{dist}^{1/2}$，且 $SU(n,1)$-不变的墙。
• 性质 (T) 与 Haagerup 性质分别由群在中位空间上存在有界或正规等距作用来刻画。
• 在具有测度墙的空间上的连续作用可诱导出在 $L^p(\mathcal{H}, \mu_\mathcal{H})$ 上的连续仿射等距作用（对所有 $p > 0$），其中有界轨道对应于有界群作用。
• 在中位空间上存在正规作用当且仅当具有 a-T-可被性，且存在有界作用蕴含 (T) 性质，从而解决了关于 (T) 性质动力表征的开放问题。