[论文解读] Knapsack and subset sum problems in nilpotent, polycyclic, and co-context-free groups

Daniel König, Markus Lohrey+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2015

semigroups and automata theory参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文研究了非典型群类中的背包问题与子集和问题的可判定性与复杂性，证明在某些二阶幂零群中背包问题是不可判定的——具体而言，是足够多份离散Heisenberg群H₃(ℤ)的直积中背包问题是不可判定的；同时通过Parikh定理与有效半线性表示，证明了共上下文无关群中背包问题的可判定性。这些结果解决了组合群论中关于封闭性质与不可判定性阈值的开放问题。

ABSTRACT

It is shown that the knapsack problem (introduced by Myasnikov, Nikolaev, and Ushakov) is undecidable in a direct product of sufficiently many copies of the discrete Heisenberg group (which is nilpotent of class 2). Moreover, for the discrete Heisenberg group itself, the knapsack problem is decidable. Hence, decidability of the knapsack problem is not preserved under direct products. It is also shown that for every co-context-free group, the knapsack problem is decidable. For the subset sum problem (also introduced by Myasnikov, Nikolaev, and Ushakov) we show that it belongs to the class NL (nondeterministic logspace) for every finitely generated virtually nilpotent group and that there exists a polycyclic group with an NP-complete subset sum problem.

研究动机与目标

• 确定有限生成幂零群、多循环群及共上下文无关群中背包问题与子集和问题的可判定性与计算复杂性。
• 解决背包问题在有限扩张与直积等群运算下的封闭性质方面的开放问题。
• 构造一个二阶幂零群，其背包问题不可判定，相较于先前结果，采用更简洁的构造方法。
• 利用Parikh定理与有效半线性表示，证明共上下文无关群中背包问题的可判定性。
• 通过离散Heisenberg群H₃(ℤ)作为反例，证明背包问题的可判定性在直积下不被保持。

提出的方法

• 按照Myasnikov等人（2012）的编码框架，将群元素表示为群生成元及其逆元的字。
• 应用Parikh定理分析来自共上下文无关群的共词问题的上下文无关语言的Parikh像。
• 通过有效计算半线性集，判断非解语言的Parikh像是否等于全集ℕᵏ，从而判定背包实例。
• 将二阶幂零群构造为H₃(ℤ)的若干份直积，以编码子群直积中的不可判定成员资格问题。
• 利用共上下文无关群在直积与受限Wreath积下的封闭性质，扩展可判定性结果。
• 将背包问题约化为上下文无关语言补集的成员资格问题，并利用半线性集在补集下的有效封闭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 背包问题在所有有限生成幂零群中是否都是可判定的，还是存在不可判定的情形？
• RQ2 若一个群中背包问题可判定，其直积中背包问题是否也必然可判定？
• RQ3 对于几乎幂零群，背包问题是否可在多项式时间内求解，其精确复杂度为何？
• RQ4 背包问题在所有共上下文无关群中是否可判定？若是，何种技术可实现此结果？
• RQ5 能否构造一个固定的二阶幂零群，使得其在四个有限生成阿贝尔子群的直积中的成员资格问题不可判定？

主要发现

• 背包问题在二阶幂零群中不可判定，具体而言，在足够多份离散Heisenberg群H₃(ℤ)的直积中不可判定。
• 存在一个具有NP完全子集和问题的多循环群，表明即使在结构相对良好的群中，NP完全性也可能出现。
• 对每个几乎幂零群，子集和问题属于NL（非确定性对数空间），优于先前的多项式时间界。
• 背包问题在离散Heisenberg群H₃(ℤ)中可判定，表明可判定性在直积下不被保持。
• 背包问题可判定群的类在有限扩张下封闭，确认了其结构封闭性质。
• 每个共上下文无关群中背包问题均可判定，且该结果可通过Parikh定理与半线性集表示实现有效化。