[论文解读] Knapsack Problem variants of QAOA for battery revenue optimisation

Pierre Dupuy de la Grand'rive, Jean-François Hullo|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用 17

一句话总结

本文提出了两种用于电池收益优化的量子近似优化算法（QAOA）变体，该问题被建模为一个受限的0-1背包问题。第一种方法采用伊辛哈密顿量中的二次惩罚，但在浅层电路中无法收敛；第二种方法采用非伊辛的线性惩罚方法，使用 O(n log n) 量子比特和 O(p(log₂ n)³) 的电路深度，当 p ≤ 10 时，解的近似值达到最优解的 95% 以上，证明了在浅层电路中对非伊辛问题的有效性。

ABSTRACT

We implement two Quantum Approximate Optimisation Algorithm (QAOA) variants for a battery revenue optimisation problem, equivalent to the weakly NP-hard Knapsack Problem. Both approaches investigate how to tackle constrained problems with QAOA. A first 'constrained' approach introduces a quadratic penalty to enforce the constraint to be respected strictly and reformulates the problem into an Ising Problem. However, simulations on IBM's simulator highlight non-convergent results for intermediate depth ($ p\leq 50$). A second 'relaxed' approach applies the QAOA with a non-Ising target function to compute a linear penalty, running in time $O(p(\log_2 n)^3)$ and needing $O(n \log n)$ qubits. Simulations reveal an exponential improvement over the number of depth levels and obtain approximations about $0.95$ of the optimum with shallow depth ($p \leq 10$).

研究动机与目标

• 将电池收益优化建模为一个受限0-1背包问题，即弱NP难的组合优化问题。
• 研究QAOA在非伊辛目标函数中的适用性，突破当前仅限于伊辛形式的实现限制。
• 评估QAOA中约束优化策略的性能，特别是基于惩罚的方法对处理约束的效率。
• 探索近场量子算法中电路深度、量子比特数量与解质量之间的权衡。
• 证明QAOA能够有效处理线性约束和非伊辛目标函数，且在浅层电路中表现良好。

提出的方法

• 提出一种使用二次惩罚强制容量约束的“受限”QAOA变体，将问题重构成伊辛哈密顿量。
• 开发一种“宽松”QAOA方法，采用非伊辛目标函数和线性惩罚项，以避免过度约束解空间。
• 采用多子程序架构：成本计算、约束检测、惩罚相位偏移和重新初始化，每个模块均通过受控量子加法器和辅助量子比特实现。
• 使用 O(n log n) 个量子比特，实现 O(p(log₂ n)³) 的电路深度复杂度，随问题规模高效扩展。
• 引入一种惩罚哈密顿量，仅在违反约束时施加相位偏移，从而实现在可行解空间上的连续优化。
• 采用具有 p 层的变分量子电路，通过经典优化方法调整角度 β 和 γ，以最大化期望收益。

实验结果

研究问题

• RQ1 QAOA能否成功应用于非伊辛目标函数，例如具有线性约束的收益最大化问题？
• RQ2 在浅层电路深度下，线性惩罚方法是否优于QAOA中用于受限0-1背包问题的二次惩罚方法？
• RQ3 在实际优化问题的QAOA实现中，量子比特数量与电路深度之间存在何种权衡？
• RQ4 宽松QAOA方法在 p ≤ 10 时，对电池收益优化问题的最优解近似效果如何？
• RQ5 QAOA能否在不依赖伊辛形式惩罚的情况下，有效处理电池容量和退化等复杂现实约束？

主要发现

• 在IBM模拟器上的仿真结果表明，采用二次惩罚的受限QAOA方法在电路深度 p ≤ 50 时无法收敛，表明其在浅层电路中存在不稳定性。
• 宽松QAOA方法仅使用 p ≤ 10 层电路，即可实现接近最优解95%的近似解，展现出优异的浅层性能。
• 宽松方法所需量子比特数为 O(n log n)，整体电路深度复杂度为 O(p(log₂ n)³)，具备良好的可扩展性。
• 仿真结果表明，带惩罚的宽松QAOA始终优于无约束版本，尤其在问题规模增大时优势更明显。
• 结果表明，带有线性惩罚的非伊辛目标函数在QAOA中是可行且高效的，显著拓展了QAOA在伊辛形式之外的应用范围。
• 本研究为QAOA在近场量子设备中处理线性约束和复杂目标函数提供了实证支持，尽管存在硬件限制。