[论文解读] Knot invariants derived from the equivariant linking pairing

Christine Lescop|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文引入了一个新不变量 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$，该不变量源自第一贝蒂数为一的3-流形中的等变 linking 对，通过配置空间积分与等变立方体构造得出。该不变量取值于 $\mathbb{Q}(x,y)$，满足手术公式，并在猜想下与有理同调球面上零同调类纽结的 Kontsevich 积分的两圈部分等价。

ABSTRACT

Let M be a closed oriented 3-manifold with first Betti number one. Its equivariant linking pairing may be seen as a two-dimensional cohomology class in an appropriate infinite cyclic covering of the configuration space of ordered pairs of distinct points of M. We show how to define the equivariant cube Q(M,K) of this Blanchfield pairing with respect to a framed knot K that generates H_1(M;Z)/Torsion. We present the invariant Q(M,K) and some of its properties including a surgery formula. Via surgery, the invariant Q is equivalent to an invariant Q' of null-homologous knots in rational homology spheres, that is conjecturally equivalent to the two-loop part of the Kontsevich integral. We generalize the construction of Q' to obtain a topological construction for an invariant that is conjecturally equivalent to the whole Kricker rational lift of the Kontsevich integral for null-homologous knots in rational homology spheres.

研究动机与目标

• 为满足 $H_1(M;\mathbb{Z})/\text{挠} \cong \mathbb{Z}$ 的闭合定向3-流形 $M$ 定义一个拓扑不变量 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$，基于等变 linking 对。
• 通过配置空间积分与在无限循环覆叠中构造的 Blanchfield 对的等变立方体，实现该不变量的构造。
• 建立一个手术公式，将 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ 与有理同调球面 $N$ 的 Casson-Walker 不变量 $\lambda(N)$ 联系起来。
• 将构造推广，得到一个拓扑不变量，其猜想等价于有理同调球面上零同调类纽结的 Kontsevich 积分的完整 Kricker 有理提升。
• 证明 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ 诱导出第一贝蒂数为一的3-流形的不变量，在秩一情形下等价于 Ohtsuki 的两圈不变量。

提出的方法

• 将等变 linking 对定义为 $M$ 中不同点的有序对的配置空间中的上同调类，并将其上拉至无限循环覆叠。
• 将等变立方体 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ 构造为该对的二级不变量，取值于有理函数域 $\mathbb{Q}(x,y)$。
• 使用配置空间的紧化 $C_2(M)$ 定义对 linking 形式对偶的链 $F_{X}, F_{Y}, F_{Z}$，并计算其三重交数。
• 应用手术公式：${\mathcal{Q}}(M\sharp N,\mathbb{K}) = {\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K}) + 6\lambda(N)$，其中 $\lambda(N)$ 为 Walker-归一化的 Casson 不变量。
• 通过 $\mathbb{K}$ 的 $0$-手术将 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ 重写为有理同调球面上零同调类纽结 $\hat{K}$ 的不变量，从而导出不变量 $\hat{{\mathcal{Q}}}$。
• 将 $\hat{{\mathcal{Q}}}$ 推广为一个拓扑构造，其猜想等价于 Kontsevich 积分的完整 Kricker 有理提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用第一贝蒂数为一的3-流形 $M$ 中的等变 linking 对，定义一个新的有限型不变量？
• RQ2 在与有理同调球面 $N$ 的连通和下，不变量 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ 与 Casson-Walker 不变量 $\lambda(N)$ 之间存在何种关系？
• RQ3 不变量 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ 是否等价于零同调类纽结的 Kontsevich 积分的 Kricker 有理提升的两圈部分？
• RQ4 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ 的构造能否推广，以实现完整 Kricker 有理提升的拓扑实现？
• RQ5 对于生成 $H_1(M;\mathbb{Z})/\text{挠}$ 的不同 framed 纽结 $\mathbb{K}'$，差值 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K}') - {\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ 所张成的向量空间是什么？

主要发现

• 不变量 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ 定义良好，取值于 $\mathbb{Q}(x,y)$，且有 ${\mathcal{Q}}(S^1 \times S^2, S^1 \times u) = 0$。
• 手术公式表明：${\mathcal{Q}}(M\sharp N,\mathbb{K}) = {\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K}) + 6\lambda(N)$，其中 $\lambda(N)$ 为 Walker-归一化的 Casson 不变量。
• 不变量 ${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ 诱导出第一贝蒂数为一的3-流形的良定义不变量，在秩一情形下等价于 Ohtsuki 的两圈不变量。
• 通过 $0$-手术，${\mathcal{Q}}(M,\mathbb{K})$ 导出有理同调球面上零同调类纽结的不变量 $\hat{{\mathcal{Q}}}$，其猜想等价于 Kricker 有理提升的两圈部分。
• 该构造可推广，得到一个猜想等价于有理同调球面上零同调类纽结的 Kontsevich 积分的完整 Kricker 有理提升的拓扑不变量。
• 当 framed 纽结 $\mathbb{K}$ 变化时，${\mathcal{Q}}$ 的变化由其框架类之差决定，且该变化与通用有限型不变量的变化 $\frac{1}{4}(p_1(\tau) - p_1(\tau'))\xi_n$ 一致。