[论文解读] Kobayashi geodesics in A_g

Martin Moeller, Eckart Viehweg|ArXiv.org|Sep 5, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文将模空间 $\mathcal{A}_g$ 中的 Kobayashi 测地线刻画为那些对数切丛以特定方式分裂的曲线，从而推广了 Shimura 曲线与 Teichmüller 曲线。关键结果是：一个态射 $\varphi_0: Y_0 \to \mathcal{A}_g$ 是 Kobayashi 测地线当且仅当其关联的 Hodge 结构的至少一个不可约直和因子为极大 Higgs 因子，即其 Higgs 丛的 Higgs 映射为同构。

ABSTRACT

We consider Kobayashi geodesics in the moduli space of abelian varieties A_g that is, algebraic curves that are totally geodesic submanifolds for the Kobayashi metric. We show that Kobayashi geodesics can be characterized as those curves whose logarithmic tangent bundle splits as a subbundle of the logarithmic tangent bundle of A_g. Both Shimura curves and Teichmueller curves are examples of Kobayashi geodesics, but there are other examples. We show moreover that non-compact Kobayashi geodesics always map to the locus of real multiplication and that the Q-irreducibility of the induced variation of Hodge structures implies that they are defined over a number field.

研究动机与目标

• 刻画阿贝尔簇模空间 $\mathcal{A}_g$ 中 Kobayashi 度量的全测地子流形。
• 将已知的此类测地线类——Shimura 曲线与 Teichmüller 曲线——统一于单一、内在的判别准则之下。
• 研究非紧致 Kobayashi 测地线的算术与几何性质，特别是其与实乘法及数域的关系。
• 将测地线的刻画从 Teichmüller 与 Shimura 情形扩展至包括由非算术三角群单值化的新型例子。

提出的方法

• 作者使用定义在曲线 $Y_0 \subset \mathcal{A}_g$ 上的极化 $\mathbb{Z}$-Hodge 结构族（权为 1）的对数 Higgs 丛。
• 他们定义一条曲线 $\varphi_0: Y_0 \to \mathcal{A}_g$ 为 Kobayashi 测地线，当且仅当 $Y_0$ 的对数切丛作为子丛分裂于 $\mathcal{A}_g$ 的对数切丛，这等价于 Hodge 结构中存在一个极大 Higgs 因子。
• 该刻画依赖于 Hodge 结构在 $\bar{\mathbb{Q}}$-定义的不可约因子上的分解，且极大 Higgs 条件在基变换与 étale 覆盖下保持不变。
• 证明利用了对数 Higgs 丛理论及基空间 $U$ 上的全族结构，表明仿射 Kobayashi 测地线源于对数余切丛分裂的曲线族。
• 作者应用刚性结果与基变换论证，表明此类测地线由其一般纤维唯一确定，并可提升至 $\bar{\mathbb{Q}}$-代数簇上的族。
• 他们利用单值群（如三角群）的分类及基本群的迹域 $K$，以区分不同类型的测地线，包括非 Shimura 与非 Teichmüller 例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，态射 $\varphi_0: Y_0 \to \mathcal{A}_g$ 是 Kobayashi 测地线，即 Kobayashi 度量下的全测地子流形？
• RQ2 除了已知的 Shimura 曲线与 Teichmüller 曲线情形外，刻画此类测地线的精确 Hodge 理论条件是什么？
• RQ3 能否证明非紧致 Kobayashi 测地线总是映射到实乘法的闭包中，且在何种条件下它们定义了数域上的 Hodge 结构族？
• RQ4 是否存在既非 Shimura 曲线也非由算术三角群单值化的 $\mathcal{A}_g$ 中的紧致 Kobayashi 测地线？
• RQ5 能否对固定判别式下 $\mathcal{A}_2$ 中由 Hilbert 模曲面导出的所有非 Shimura Kobayashi 测地线进行分类？

主要发现

• 一个态射 $\varphi_0: Y_0 \to \mathcal{A}_g$ 是 Kobayashi 测地线当且仅当其关联的 $\mathbb{C}$-Hodge 结构 $\mathbb{W} = \mathbb{W}_\mathbb{Z} \otimes \mathbb{C}$ 的至少一个不可约直和因子为极大 Higgs 因子，即其 Higgs 映射 $\theta: E^{1,0} \to E^{0,1} \otimes \Omega^1_Y(\log S)$ 为同构。
• 非紧致 Kobayashi 测地线总是映射到 $\mathcal{A}_g$ 中实乘法的闭包，推广了 Teichmüller 曲线的性质。
• 若 Hodge 结构族为 $\mathbb{Q}$-不可约，则该测地线定义在数域上，推广了 Shimura 曲线的性质。
• 仿射 Kobayashi 测地线作为对数余切丛分裂的曲线族的像出现，推广了已知事实：Teichmüller 曲线源于 Hilbert 模曲面族。
• 存在既非 Shimura 曲线也非由算术三角群单值化的紧致 Kobayashi 测地线，例如由非算术三角群 $\Delta(l,m,n)$（其中 $l,m,n < \infty$ 且不在 Takeuchi 的有限列表中）导出的例子。
• Prym 构造在 $\mathcal{A}_2$ 中给出了非 Teichmüller、非 Shimura 的 Kobayashi 测地线的例子，表明此类测地线的类严格大于 Shimura 与 Teichmüller 曲线的并集。