[论文解读] Stability of Hodge bundles and a numerical characterization of Shimura varieties

Martin Moeller, Eckart Viehweg+1 more|ArXiv.org|Jun 23, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文通过赫odge结构变化的不变量，对霍奇型的希米拉簇和古加纤维丛提供了数值刻画。证明了在拟射影基上，阿贝尔簇族是古加纤维丛当且仅当每个不可约赫odge结构子变化要么是酉的，要么满足亚拉凯洛夫等式，且在具有球状切丛的万有覆盖的每个因子上，迭代的科达尔-斯皮尔曼映射具有最小长度。当族是刚性时，该族是 $\mathcal{A}_g$ 的霍奇型连通希米拉子簇。

ABSTRACT

Consider a family f:A --> U of g-dimensional abelian varieties over a quasiprojective manifold U. Suppose that the induced map from U to the moduli scheme of polarized abelian varieties is generically finite and that there is a projective manifold Y, containing U as the complement of a normal crossing divisor S, such that the sheaf of logarithmic one forms is nef and that its determinant is ample with respect to U. We characterize whether $U$ is a Shimura variety by numerical data attached to the variation of Hodge structures, rather than by properties of the map from U to the moduli scheme or by the existence of CM points. More precisely, we show that U is a Shimura variety, if and only if two conditions hold. First, each irreducible local subsystem V of the complex weight one variation of Hodge structures is either unitary or satisfies the Arakelov equality. Secondly, for each factor M in the universal cover of U whose tangent bundle behaves like the one of a complex ball, an iterated Kodaira-Spencer map associated with V has minimal possible length in the direction of M.

研究动机与目标

• 通过仅使用赫odge结构变化的数值不变量，对霍奇型希米拉簇和古加纤维丛进行刻画，而不依赖于到模空间的映射或CM点。
• 将先前关于曲线和刚性族的结果推广至高维基和非刚性族。
• 建立一个基于亚拉凯洛夫等式和迭代赫iggs场最小长度的古加纤维丛识别标准。
• 证明满足数值条件的刚性族是 $\mathcal{A}_g$ 的霍奇型连通希米拉子簇。
• 通过用赫iggs场长度的更一般条件替代早期工作中使用的判别式条件，解决标准表示被排除的问题。

提出的方法

• 使用在拟射影基 $U$ 上、沿法交叉除子 $S$ 具有对数奇点的权为一的复赫odge结构变化的赫iggs丛。
• 对赫odge结构的子变化应用亚拉凯洛夫等式：每个不可约子变化必须是酉的或满足亚拉凯洛夫不等式的等式。
• 分析迭代的科达尔-斯皮尔曼映射 $\theta^{(m)}$，并要求其在具有球状几何的万有覆盖因子的方向上具有可能的最小长度。
• 运用赫iggs丛的稳定性理论和 $\mu$-稳定性概念，排除非平凡子丛，并在高维情形导出矛盾。
• 使用施伦特函子和霍洛尼群相容性，证明仅低维情形（$n=1,2$）可满足数值约束，从而排除高维球状因子。
• 应用切丛对称幂的稳定性并比较斜率，排除某些表示，除非 $n \leq 2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在赫odge丛和赫iggs场的何种数值条件下，拟射影基上的阿贝尔簇族是古加纤维丛？
• RQ2 是否能仅通过赫odge结构变化的数值不变量实现对希米拉簇的刻画，而无需参考到模空间 $\mathcal{A}_g$ 的映射？
• RQ3 迭代的科达尔-斯皮尔曼映射的长度在识别希米拉簇中起什么作用，特别是在非刚性族中？
• RQ4 早期工作中使用的判别式条件如何被赫iggs场长度的更一般、更包容的条件所取代？
• RQ5 为何在证明中仅 $n=1$ 和 $n=2$ 情况满足数值约束，这对其基的几何意味着什么？

主要发现

• 当且仅当每个不可约赫odge结构子变化是酉的或满足亚拉凯洛夫等式时，族 $f: A \to U$ 是古加纤维丛。
• 对于万有覆盖中具有类似复球切丛的每个因子 $M$，任意子变化相关的迭代科达尔-斯皮尔曼映射具有可能的最小长度。
• 当族是刚性时，基 $U$ 是 $\mathcal{A}_g$ 的霍奇型连通希米拉子簇。
• $n \geq 3$ 的情形因霍洛尼群不相容性导致矛盾，证明仅 $n=1$ 和 $n=2$ 是可能的。
• 当 $n=2$ 且 $\ell' \neq 5$ 时，$\varsigma(\mathbb{V}) = 3$ 成立，且关键不等式 (8.1) 在这些情形下得到验证。
• 通过证明对称幂的斜率不等式被违反，排除了所有 $\ell' = 4, 6$ 或 $5, 15$ 的情形。