[论文解读] Kolmogorov and Linear Widths of Balls in Sobolev and Besov Norms on Compact Manifolds

Daryl Geller, Isaac Z. Pesenson|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文在紧致黎曼流形上，特别是紧致齐次流形上，为 Sobolev 空间中单位球的 Kolmogorov、线性和 Gelfand $n$-宽度建立了渐近精确的上下界。利用谱理论、核局部化和积分公式，推导出形式为 $ n^{-r/s + \max(0, 1/p - 1/q)} $ 的尖锐渐近估计，其中 $ s $ 为流形维数，$ r $ 为光滑性指标，在自然参数范围内成立。

ABSTRACT

We determine upper asymptotic estimates of Kolmogorov and linear $n$-widths of unit balls in Sobolev and Besov norms in $L_{p}$-spaces on smooth compact Riemannian manifolds. For compact homogeneous manifolds, we establish estimates which are asymptotically exact, for the natural ranges of indices. The proofs heavily rely on our previous results such as: estimates for the near-diagonal localization of the kernels of elliptic operators, Plancherel-Polya inequalities on manifolds of bounded geometry, cubature formulas with positive coefficients and uniform estimates on Clebsch-Gordon coefficients on general compact homogeneous manifolds.

研究动机与目标

• 确定光滑紧致黎曼流形上 Sobolev 空间中单位球的 Kolmogorov 和线性 $n$-宽度的渐近估计。
• 在紧致齐次流形上建立这些宽度的渐近精确界，特别是针对 $p$、$q$ 和 $r$ 的自然参数范围。
• 利用谱分析和调和分析工具，推导出紧致齐次流形上 Gelfand 宽度的下界。
• 通过利用 Plancherel-Polya 不等式、正向积分公式和 Clebsch-Gordon 系数的统一估计，统一并拓展先前关于 $n$-宽度的研究结果。
• 通过以 $n$-宽度作为最佳逼近效率的度量，为流形上的函数逼近提供一个全面的框架。

提出的方法

• 作者利用椭圆型算子的谱理论，特别是 Laplace-Beltrami 算子和 Casimir 算子，来定义紧致流形上的 Sobolev 范数。
• 他们应用椭圆型算子核的近对角局部化估计，以控制奇异积分和投影的行为。
• 在流形上使用 Plancherel-Polya 不等式，将函数的 $L_p$-范数与其谱展开中的系数联系起来。
• 构造具有统一误差界的一类正向积分公式，以离散化 $L_p$-范数，并通过有限维投影近似 $n$-宽度。
• 对紧致齐次流形上的 Clebsch-Gordon 系数使用统一估计，以控制张量积分解中矩阵系数的增长。
• 证明依赖于通过嵌入和对偶性将有限维 $\ell_p$-球宽度与流形情形进行比较的技术，从而推导出下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧致黎曼流形上 Sobolev 空间中单位球的 Kolmogorov 和线性 $n$-宽度的渐近行为是什么？
• RQ2 这些宽度如何随逼近子空间的维数 $n$，以及光滑性 $r$ 和可积性参数 $p$、$q$ 变化？
• RQ3 在紧致齐次流形上，$n$-宽度的上界能否达到渐近精确？
• RQ4 紧致齐次流形上 Gelfand $n$-宽度的尖锐下界是什么？其与 Kolmogorov 和线性宽度相比如何？
• RQ5 结果在多大程度上依赖于椭圆型算子 $L$ 的选择？在什么情况下 Casimir 算子是最优的？

主要发现

• 对于紧致齐次流形，$W_p^r(M)$ 中单位球的 Kolmogorov $n$-宽度满足 $ d_n(B_p^r, L_q) \asymp n^{-r/s + \max(0, 1/p - 1/q)} $，其中 $ s = \dim M $，在 $p$、$q$ 和 $r$ 的自然范围内成立。
• 线性 $n$-宽度 $\delta_n(B_p^r, L_q) \asymp n^{-r/s + \max(0, 1/p - 1/q)} $，与 Kolmogorov 宽度仅差一个常数因子。
• 对于 Gelfand 宽度，下界 $ d^n(B_p^r, L_q) \gg n^{-r/s + \max(0, 1/p - 1/q)} $ 成立，且在许多情况下渐近阶是精确的。
• 当 $p \leq q$ 且 $p \geq 1$ 时，渐近估计是精确的，指数为 $ -r/s + \max(0, 1/p - 1/q) $，且在齐次空间上，该界与特定椭圆型算子 $L$ 的选择无关。
• 这些结果通过与有限维 $\ell_p$-球宽度进行比较推导得出，利用了嵌入关系 $ b_p^M \subset M^{1/p - 1/q} b_q^M $ 和对偶性技术。
• 证明依赖于构造一个投影 $Q_N$ 到一个维数为 $P_N \asymp n$ 的谱子空间，并利用恒等式 $ \|Q_N h\|_q \asymp N^{-1/q} \|a\|_q $，其中 $a$ 是 $h$ 的系数。