[论文解读] Koopman Representations of Dynamic Systems with Control

Craig Bakker, W. Steven Rosenthal+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文提出了一种混合Koopman表示方法，通过联合观测状态和控制输入，实现对非线性受控动力系统的线性、数据驱动建模。通过推导出的约束条件确保动力学一致性，该方法在保持Koopman算子与状态和控制无关的前提下，支持比以往方法更广泛的系统类别，从而实现更低的模型误差并有效支持线性控制设计。

ABSTRACT

The design and analysis of optimal control policies for dynamical systems can be complicated by nonlinear dependence in the state variables. Koopman operators have been used to simplify the analysis of dynamical systems by mapping the flow of the system onto a space of observables where the dynamics are linear (and possibly infinte). This paper focuses on the development of consistent Koopman representations for controlled dynamical system. We introduce the concept of dynamical consistency for Koopman representations and analyze several existing and proposed representations deriving necessary constraints on the dynamical system, observables, and Koopman operators. Our main result is a hybrid formulation which independently and jointly observes the state and control inputs. This formulation admits a relatively large space of dynamical systems compared to earlier formulations while keeping the Koopman operator independent of the state and control inputs. More generally, this work provides an analysis framework to evaluate and rank proposed simplifications to the general Koopman representation for controlled dynamical systems.

研究动机与目标

• 为解决将Koopman算子理论应用于受控动力系统时面临的挑战，其中非线性依赖关系使最优控制设计复杂化。
• 定义并形式化离散时间与连续时间系统中带控制输入的Koopman表示的动力学一致性条件。
• 基于其对一般受控动力系统类别的表示能力（不引入模型误差）来评估并排序现有及所提出的Koopman形式化方法。
• 提出一种混合Koopman形式化方法，独立且联合观测状态和控制输入，从而在保持Koopman算子与状态和控制无关的同时，实现更大的通用性。

提出的方法

• 引入一致性条件框架，以评估Koopman表示是否能精确捕捉受控动力系统的流。
• 推导离散时间与连续时间形式化下系统动力学、可观测量与Koopman算子的必要约束条件。
• 提出一种混合Koopman表示，其中可观测量为状态 $x$ 和控制 $u$ 的函数，且满足 $\psi_{xu}(x,0) = 0$ 以确保一致性。
• 利用条件 $\psi_{xu}(x,u) = (K(u) - K(0))\psi_x(x)$ 将控制相关动力学与Koopman算子关联，从而实现包含状态的可观测量。
• 在此框架内分析现有形式化方法（如Williams等[7]、Proctor等[6]），比较其通用性与约束条件。
• 证明仅依赖于状态包含型可观测量的方法（如式(23)）需满足对所有 $x,u$ 成立的强约束 $G(x)f(u) = 0$，从而限制其在控制输入位于 $G(x)$ 的零空间内的系统中的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在离散时间与连续时间下，Koopman表示在何种条件下能精确表示受控动力系统的流？
• RQ2 现有用于控制的Koopman形式化方法在表示具有状态依赖控制输入的非线性系统方面有何差异？
• RQ3 在Koopman表示中使用状态包含型可观测量时会产生何种约束？这些约束如何限制系统的通用性？
• RQ4 能否通过一种联合观测状态和控制输入的混合形式化方法，实现更广的表征能力，同时保持Koopman算子与状态和控制的独立性？
• RQ5 在使用不同表示形式化方法时，基于Koopman的控制中计算效率与模型保真度之间存在何种权衡？

主要发现

• 所提出的混合形式化方法，通过独立且联合观测状态和控制输入，在保持Koopman算子与状态和控制输入无关的同时，可表征比以往方法更广泛的动力系统类别。
• 仅依赖于状态包含型可观测量的方法（如式(23)）需满足对所有 $x,u$ 成立的强约束 $G(x)f(u) = 0$，这限制了其在控制输入位于 $G(x)$ 零空间内的系统中的适用性。
• Williams等[7]提出的形式化方法被证明是所提混合框架（式(45)）的一个特例，该框架允许非线性控制依赖关系，具有更大的通用性。
• 一致性条件(93)与(94)提供了一个正式框架，用于判断Koopman表示是否能无模型误差地捕捉真实系统动力学。
• 数据驱动的Koopman算子近似本身包含误差，因此使用约束更少的形式化方法（如混合方法）可能在存在误差的情况下更好地保持模型保真度。
• 所提出的框架使得能够基于动力学一致性和表征能力，对Koopman表示进行系统性评估与排序。