[论文解读] Koszul A-infinity algebras and free loop space homology

Alexander Berglund, Kaj Börjeson|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文将普林迪的柯尔佐尔代数推广为柯尔佐尔 $A_{\infty}$-代数，从而为霍赫希尔德上同调提供更小的 $A_{\infty}$-代数模型。研究证明，无论形式化或余形式化的单连通流形，其自由环路空间上同调均可通过柯尔佐尔对偶结构上的扭曲卷积 $A_{\infty}$-代数计算得出，从而实现了对 $\mathbb{C}P^n$ 和一个 $\mathbb{Z}$ 上的 7-流形的新计算，推广了先前的结果。

ABSTRACT

We introduce a notion of Koszul A-infinity algebra that generalizes Priddy's notion of a Koszul algebra and we use it to construct small A-infinity algebra models for Hochschild cochains. As an application, this yields new techniques for computing free loop space homology algebras of manifolds that are either formal or coformal (over a field or over the integers). We illustrate these techniques in two examples.

研究动机与目标

• 将柯尔佐尔代数理论扩展至 $A_{\infty}$-代数，以应用于代数拓扑。
• 为形式化或余形式化但未必同时满足两者的流形，提供计算其自由环路空间上同调 $H_*(LM)$ 的框架。
• 利用柯尔佐尔对偶性，构建霍赫希尔德上同调的更小的 $A_{\infty}$-代数模型。
• 通过放宽联合形式化/余形式化条件，推广先前关于 $H_*(LM)$ 的结果。

提出的方法

• 通过具有特定齐次性条件的加权分次 $A_{\infty}$-代数，引入柯尔佐尔 $A_{\infty}$-代数的新概念。
• 建立一个刻画：一个 $A_{\infty}$-代数与柯尔佐尔 $A_{\infty}$-代数 quasi-isomorphic 当且仅当其巴尔构造作为微分分次余代数是形式的。
• 利用扭曲卷积代数，为柯尔佐尔 $A_{\infty}$-代数上的霍赫希尔德上同调构造小的 $A_{\infty}$-模型。
• 通过一个扭曲映射 $\kappa: H_*(M) \to H_*(\Omega M)$ 定义一个与 $C_*(\Omega M)$ 上的霍赫希尔德上同调 quasi-isomorphic 的扭曲卷积 $A_{\infty}$-代数。
• 将该框架应用于计算 $H_{*+d}(LM)$，利用同构 $H_{*+d}(LM) \cong H_*\operatorname{Hom}^\kappa(H_*(M), H_*(\Omega M))$。
• 在两个例子上验证该构造：$\mathbb{C}P^n$（形式化但非余形式化）和一个 $\mathbb{Z}$ 上的 7-流形（余形式化但非形式化）。

实验结果

研究问题

• RQ1 柯尔佐尔代数的理论能否被推广至 $A_{\infty}$-代数，以处理自由环路空间上同调计算中更一般的流形？
• RQ2 当流形 $M$ 是形式化或余形式化但非两者时，如何高效地建模 $C_*(\Omega M)$ 上的霍赫希尔德上同调？
• RQ3 扭曲映射 $\kappa: H_*(M) \to H_*(\Omega M)$ 在 $H_*(LM)$ 与柯尔佐尔对偶上的 $A_{\infty}$-结构之间起什么作用？
• RQ4 能否从扭曲卷积 $A_{\infty}$-代数结构中恢复出 $H_*(LM)$ 上的查斯-沙利文环路积？
• RQ5 该框架在形式化/余形式化交集之外，能带来哪些关于 $H_*(LM)$ 的新计算？

主要发现

• 本文证明：当且仅当 $H_*(\Omega M;\Bbbk)$ 允许一个与 $C_*(\Omega M;\Bbbk)$ quasi-isomorphic 的极小柯尔佐尔 $A_{\infty}$-代数结构时，$M$ 在 $\Bbbk$ 上是形式化的，且满足 $H_*(M;\Bbbk) \cong H_*(\Omega M;\Bbbk)^{<}$。
• 本文表明：当且仅当 $H_*(M;\Bbbk)$ 允许一个与 $C_*(M;\Bbbk)$ quasi-isomorphic 的极小柯尔佐尔 $A_{\infty}$-余代数结构时，$M$ 在 $\Bbbk$ 上是余形式化的，且满足 $H_*(\Omega M;\Bbbk) \cong H_*(M;\Bbbk)^!$。
• 对于在 $\Bbbk$ 上形式化或余形式化的 $d$-维流形 $M$，存在一个分次代数的同构 $H_{*+d}(LM;\Bbbk) \cong H_*\operatorname{Hom}^\kappa(H_*(M;\Bbbk), H_*(\Omega M;\Bbbk))$，其中左侧装备有查斯-沙利文环路积。
• 该框架为 $\mathbb{C}P^n$ 的查斯-沙利文代数提供了简化的计算，可视为 Cohen-Jones-Yan 谱序列的链级改进。
• 本文计算了在 $\mathbb{Z}$ 上余形式化但非形式化的 7-流形 $M$ 的 $H_{*+7}(LM;\mathbb{Z})$，该结果此前无法通过早期方法获得。
• 霍赫希尔德上同调 $HH^*(U,U)$ 被表示为 $\mathcal{Z}(U)$ 上的分次交换代数，具有显式生成元与关系，且存在同构 $H_{*+7}(LM) \cong HH^*(U,U)$。