[论文解读] Krylov complexity of many-body localization: Operator localization in Krylov basis

Fabian Ballar Trigueros, Cheng-Ju Lin|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2021

Quantum many-body systems参考文献 77被引用 84

一句话总结

本文利用Krylov基框架研究多体局域化（MBL）系统中的算符演化，其中算符动力学被映射为一条半无限链上的单粒子跃迁问题，Lanczos系数作为跃迁幅度。尽管Lanczos系数的渐近标度与遍历系统一致（∼n/ln(n)），MBL系统仍表现出偶奇交替和有效随机性，导致波函数局域化以及Krylov复杂度有界——表明算符在Krylov空间中局域化。

ABSTRACT

We study the operator growth problem and its complexity in the many-body localization (MBL) system from the Lanczos algorithm perspective. Using the Krylov basis, the operator growth problem can be viewed as a single-particle hopping problem on a semi-infinite chain with the hopping amplitudes given by the Lanczos coefficients. We find that, in the MBL systems, the Lanczos coefficients scale as $\sim n/\ln(n)$ asymptotically, same as in the ergodic systems, but with an additional even-odd alteration and an effective randomness. We use a simple linear extrapolation scheme as an attempt to extrapolate the Lanczos coefficients to the thermodynamic limit. With the original and extrapolated Lanczos coefficients, we study the properties of the emergent single-particle hopping problem via its spectral function, integrals of motion, Krylov complexity, wavefunction profile and return probability. Our numerical results of the above quantities suggest that the emergent single-particle hopping problem in the MBL system is localized when initialized on the first site. We also study the operator growth in the MBL phenomenological model, whose Lanczos coefficients also have an even-odd alteration, but approach constants asymptotically. The Krylov complexity grows linearly in time in this case.

研究动机与目标

• 利用Krylov基框架理解多体局域化（MBL）系统中算符增长与复杂度的机制。
• 分析MBL系统中Lanczos系数的行为，并与遍历和可积体系进行比较。
• 研究Krylov空间中涌现的单粒子跃迁问题在MBL系统中是否局域化。
• 探讨在MBL系统中对Lanczos系数进行线性外推以估计热力学极限的可行性。
• 对比微观MBL模型与包含l-比特算符的唯象MBL模型中的Krylov复杂度。

提出的方法

• 应用Lanczos算法生成算符动力学的Krylov基，将问题映射为半无限链上的单粒子跃迁哈密顿量。
• 将Lanczos系数用作有效单粒子模型中的跃迁幅度，初始态局域在第一号位。
• 通过谱函数、波函数分布、回溯概率及守恒量计算来探测局域性质。
• 将Krylov复杂度定义为涌现单粒子波函数的平均位置，以量化算符的扩展行为。
• 对Lanczos系数进行线性外推，以估计其在热力学极限下的行为，尽管该方法存在已知局限性。
• 对比微观MBL模型（随机场伊辛链）与包含l-比特翻转算符的唯象模型的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 MBL系统中的Lanczos系数是否表现出与遍历系统相同的渐近标度？此外，还出现了哪些额外结构？
• RQ2 当在Krylov基中初始态位于第一号位时，Krylov空间中涌现的单粒子跃迁问题在MBL系统中是否局域化？
• RQ3 Krylov复杂度在MBL系统中如何随时间演化？其行为与遍历和可积体系相比有何差异？
• RQ4 对Lanczos系数进行线性外推能否为MBL系统的热力学极限提供有意义的洞见？
• RQ5 微观MBL模型与唯象l-比特模型中的Krylov复杂度有何不同？

主要发现

• MBL系统中的Lanczos系数渐近标度为∼n/ln(n)，与遍历体系一致，但额外表现出偶奇交替与有效随机性。
• 当初始态位于第一号位时，Krylov基中涌现的单粒子波函数保持局域化，表明算符在Krylov空间中局域化。
• Krylov复杂度在MBL系统中随时间有界，与遍历体系中预期的超多项式（指数或拉伸指数）增长形成鲜明对比。
• 谱函数与回溯概率显示出局域化的特征，未见波函数展展现象。
• 在唯象l-比特模型中，Lanczos系数趋近于具有偶奇交替特性的常数，Krylov复杂度随时间线性增长，且存在传播波前。
• 对Lanczos系数的线性外推表明，可能存在通往研究热力学极限的路径，但该方法可能过于简化，难以准确描述热力学极限下的真实行为。