[论文解读] $l$-adic cohomological field theories of dormant opers

Yasuhiro Wakabayashi|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 36被引用 2

一句话总结

本文通过利用半单代数群 $G$ 的驻定 $G$-操作的紧致模空间的虚拟基本类，在 $l$-进平展上同调中构造了一个半单的上同调场论（CohFT）。通过引入驻定忠实扭 $G$-操作（G-do'per）的概念，作者在正特征下建立了关于 $G$-do'per 模空间上 psi 类交点数的 Witten-Kontsevich 定理的类比。

ABSTRACT

The purpose of the present paper is to develop the enumerative geometry of dormant $G$-opers for a semisimple algebraic group $G$. In the present paper, we construct a compact moduli stack admitting a perfect obstruction theory by introducing the notion of a dormant faithful twisted $G$-oper (or, a $G$-do'per, for short). Moreover, by means of the resulting virtual fundamental class, we obtain a semisimple CohFT (= cohomological field theory) valued in the $l$-adic \'etale cohomology of the moduli stack classifying pointed stable curves in positive characteristic. This CohFT gives an analogue of the Witten-Kontsevich theorem describing the intersection numbers of psi classes on the moduli stack of $G$-do'pers.

研究动机与目标

• 在正特征下系统发展半单代数群 $G$ 的驻定 $G$-操作的枚举几何。
• 构造一个配备完美障碍理论的 $G$-do'per 模空间的紧致模空间。
• 在该模空间上定义一个虚拟基本类，以得到取值于 $l$-进平展上同调的半单 CohFT。
• 在 $G$-do'per 模空间上建立 psi 类交点数的 Witten-Kontsevich 定理的类比。

提出的方法

• 引入驻定忠实扭 $G$-操作（G-do'per）的概念，以定义一个行为良好的模空间。
• 构造一个配备完美障碍理论的 $G$-do'per 模空间的紧致模空间，从而支持虚拟周期的构造。
• 利用完美障碍理论在 $l$-进上同调中定义一个虚拟基本类。
• 在点化稳定曲线模空间的 $l$-进平展上同调中构造一个取值于该空间的 CohFT。
• 证明所得 CohFT 是半单的，从而推广了 Witten-Kontsevich 理论的结构。
• 在 $G$-do'per 模空间上建立 psi 类交点数的 Witten-Kontsevich 定理的类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在正特征下系统地发展驻定 $G$-操作的枚举几何？
• RQ2 何种模空间结构可支持 $G$-do'per 的完美障碍理论？
• RQ3 能否为 $G$-do'pers 构造一个虚拟基本类，以在 $l$-进上同调中得到 CohFT？
• RQ4 所得 CohFT 是否满足半单性，并推广 Witten-Kontsevich 定理？
• RQ5 在 $G$-do'per 的背景下，Witten-Kontsevich 交点数公式的精确类比是什么？

主要发现

• 构造了一个配备完美障碍理论的 $G$-do'per 模空间的紧致模空间，从而支持虚拟周期理论。
• 在 $l$-进平展上同调中定义了一个虚拟基本类，从而得到一个半单 CohFT。
• 该 CohFT 取值于正特征下点化稳定曲线模空间的 $l$-进上同调。
• 该 CohFT 为 $G$-do'per 模空间上 psi 类交点数提供了正特征下的 Witten-Kontsevich 定理类比。
• 该构造将经典 Witten-Kontsevich 理论推广到了半单群 $G$ 的 $G$-do'per 设置。
• 所得 CohFT 是半单的，确认了其与零亏格 Gromov-Witten 理论中已知结果的结构相容性。