[论文解读] $L$-functions of ${\mathrm{GL}}(2n):$ $p$-adic properties and non-vanishing of twists

Mladen Dimitrov, Fabian Januszewski+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 11

一句话总结

本文通过模符号方法结合精细的Hecke理论，为在全实数域F上具有Shalika模型的GL_{2n}的上同调 cuspidal 自守表示构造了p进L函数。关键结果表明，在较弱的平凡性条件下，对所有除有限多个p-幂导子的狄利克雷特征χ外，中心扭L值L(1/2, Π ⊗ χ)均非零，从而将非零性结果推广至更高秩L函数。

ABSTRACT

The principal aim of this article is to attach and study $p$-adic $L$-functions to cohomological cuspidal automorphic representations $Π$ of $\mathrm{GL}(2n)$ over a totally real field $F$ admitting a Shalika model. We use a modular symbol approach, along the global lines of the work of Ash and Ginzburg, but our results are more definitive since we draw heavily upon the methods used in the recent and separate works of all the three authors. By construction our $p$-adic $L$-functions are distributions on the Galois group of the maximal abelian extension of $F$ unramified outside $p\infty$. Moreover we work under a weaker Panchishkine type condition on $Π_p$ rather than the full ordinariness condition. Finally, we prove the so-called Manin relations between the $p$-adic $L$-functions at all critical points. This has the striking consequence that, given a unitary $Π$ whose standard $L$-function admits at least two critical points, and given a prime $p$ such that $Π_p$ is ordinary, the central critical value $L( frac12, Π\otimesχ)$ is non-zero for all except finitely many Dirichlet characters $χ$ of $p$-power conductor.

研究动机与目标

• 为在全实数域F上具有Shalika模型的GL_{2n}/F的上同调 cuspidal 自守表示构造p进L函数。
• 将中心扭L值的非零性结果从GL_2和GL_3推广至更高秩L函数。
• 建立p进L函数在临界点处的Manin关系，从而得出非零性结论。
• 将非零性结果推广至近乎平凡情形，并证明多个L函数在相同特征χ下的同时非零性。
• 提供算术应用，包括希尔伯特尖形式对称幂L函数的新有理性结果。

提出的方法

• 采用受Ash与Ginzburg启发的模符号方法，将其适配于全实数域上GL_{2n}的上同调自守表示。
• 在F在p∞外无瑕的极大阿贝尔扩张的伽罗瓦群上构造取值于p进域的p进测度。
• 利用在p上方的素数处的Hecke算子，在紧支集上同调中定义特征类，重点关注上同调的最高次数t = |Σ∞|(n² + n - 1)。
• 对局部分量Π_p施加Panchishkine型条件，弱于完全平凡性，以确保p进插值。
• 应用Weierstrass准备定理于与p进L函数相关的p进幂级数，以控制其零点。
• 使用扭范数映射与测度的上拉，将非零性结果推广至非平凡及扭表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为在全实数域上具有Shalika模型的GL_{2n}上同调自守表示构造p进L函数？
• RQ2 在何种条件下，中心扭L值L(1/2, Π ⊗ χ)对p-幂导子的狄利克雷特征χ保持非零？
• RQ3 p进L函数之间的Manin关系如何约束扭L值的零点行为？
• RQ4 非零性结果能否推广至Π_p并非完全平凡的近乎平凡情形？
• RQ5 能否证明对同一特征χ的多个L函数实现同时非零？

主要发现

• 对于在p处Q-平凡的GL_{2n}/F上的单位性 cuspidal 自守表示Π，对所有除有限多个p-幂导子的狄利克雷特征χ外，有L(1/2, Π ⊗ (χ∘N_{F/Q})) ≠ 0。
• 即使Π并非完全平凡，只要满足较弱的Panchishkine型条件，中心扭L值仍保持非零。
• 证明依赖于p进L函数之间的Manin关系，这些关系控制了相关p进测度的零点集。
• 存在一个同时非零性结果：对有限多个此类表示Π_k，其中心扭L值的乘积对所有除有限多个p-幂导子χ均非零。
• 结果导出了希尔伯特尖形式对称第五幂L函数的新有理性结果，包括拉马努金Δ函数的情形。
• 将p进L函数构造为Cl_F^+(p^∞)上的测度，为Iwasawa理论与特殊值猜想的算术应用提供了框架。