[论文解读] Arithmeticity for periods of automorphic forms

Wee Teck Gan, A. Raghuram|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用 11

一句话总结

该论文通过证明在上同调条件下，一个数域 F 上约化群 G 的一个非零 cuspidal 自守表示 π 的 (H,χ)-周期非零当且仅当其伽罗瓦共轭表示 σπ 的 (H,σχ)-周期非零，从而确立了自守周期的算术性。关键结果推广了经典的算术性定理，并证实了周期非零性在 ℂ 的自同构下不变性的猜想。

ABSTRACT

A cuspidal automorphic representation πof a group G is said to to be distinguished with respect to a subgroup H if the integral of f along H is nonzero for a cusp form f in the space of π. Such period integrals are related to (non)vanishing of interesting L-values and also to Langlands functoriality. This article discusses a general principle, labelled arithmeticity, which roughly states that "πis H-distinguished if and only if any Galois conjugate of πis H-distinguished." We study this principle via several examples; starting with GL(2) and leading up to more complicated situations where the ambient group is a higher GL(n) or a classical group.

研究动机与目标

• 在伽罗瓦共轭下建立自守周期的全局算术性原理。
• 将关于 L-函数和周期的经典算术性结果推广至高秩群和广义周期积分。
• 通过上同调与函子方法，验证周期非零性在 ℂ 的自同构下不变性的猜想。
• 将 Clozel 关于上同调表示的伽罗瓦共轭的定理推广至经典群。
• 通过 L-函数非零性和函子转移，提供周期积分的动机解释。

提出的方法

• 使用上同调准则定义上同调 cuspidal 自守表示 π 的伽罗瓦共轭表示 σπ。
• 应用 Clozel 定理（定理 3.1）及其推广（定理 9.5），确保 σπ 也是上同调且 cuspidal 的。
• 通过从经典群（如 GSpin(2n+1)、U(n)、U(n)×U(n−1)）的函子转移刻画 (H,χ)-周期的非零性。
• 利用局部泛性与 L-包中泛表示的唯一性，推导出 σπ 的全局泛性。
• 利用整体下降理论和整体 Gross-Prasad 猜想，证明 σπ 继承了非零周期。
• 通过 Gross 关于动机 L-函数的猜想，将周期非零性与临界 L-值联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一个上同调自守表示 π，其全局 (H,χ)-周期非零是否意味着其伽罗瓦共轭 σπ 在 (H,σχ) 下也具有非零周期？
• RQ2 算术性在 GL(n) 之外，特别是在 SO(2n+1)、U(2n+1) 和 U(n)×U(n−1) 等经典群中，其适用范围在多大程度上成立？
• RQ3 是否能通过函子转移和 L-函数性质，以在 Aut(ℂ) 下不变的方式刻画 (H,χ)-周期的非零性？
• RQ4 在何种条件下，一个全局泛表示 π 的伽罗瓦共轭 σπ 仍为全局泛？
• RQ5 当整体 Gross-Prasad 猜想与上同调及函子工具结合时，如何支持周期算术性的成立？

主要发现

• 当 G = GL₂/F 时，Whittaker 周期的算术性成立，原因在于 cuspidal 上同调空间存在有理结构。
• 当 G = GL₂/F 时，(GL₁,χ)-周期的算术性由 Manin 和 Shimura 关于临界 L-值的代数性定理所保证。
• 当 G = GL₂n/F 时，Shalika 周期的非零性可通过从 GSpin(2n+1) 的函子转移刻画，且该性质在伽罗瓦共轭下保持不变。
• 当 G = GL(n)/E，其中 E/F 为二次扩张时，GL(n)/F 周期可通过从酉群 U(n) 的函子转移刻画，且在上同调假设下算术性条件成立。
• 对于 GL(n)×GL(n−1)，Gross-Prasad 周期的非零性在伽罗瓦共轭下保持不变，此结论通过整体下降和 L-函数非零性准则得以证明。
• 对于经典群如 SO(2n+1) 和 U(2n+1)，若 π 为全局泛且上同调，则 σπ 也为全局泛，从而在这些情形下证明了 Whittaker 周期的算术性。