[论文解读] L-infinity algebras and their cohomology

Michael Penkava|ArXiv.org|Dec 12, 1995

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用 11

一句话总结

本文通过将Hochschild上同调与循环上同调推广至李代数，为L-∞代数建立了上同调框架，表明李代数在伴随表示下的上同调分类了其变形为L-∞代数的结构。该研究引入了对余微分的修正括号，使上同调具备微分分次代数结构，类似于Gerstenhaber括号，利用张量与外代数的对偶性及奇性反转实现。

ABSTRACT

An associative algebra is nothing but an odd quadratic codifferential on the tensor coalgebra of a vector space, and an A-infinity algebra is simply an arbitrary odd codifferential. Hochschild cohomology classifies the deformations of an associative algebra into an A-infinity algebra, and cyclic cohomology in the presence of an invariant inner product classifies the deformations of the associative algebra into an A-infinity algebra preserving the inner product. Similarly, a graded Lie algebra is simply a special case of an odd codifferential on the exterior coalgebra of a vector space, and an L-infinity algebra is a more general codifferential. In this paper, ordinary and cyclic cohomology of L-infinity algebras is defined, and it is shown that the cohomology of a Lie algebra (with coefficients in the adjoint representation) classifies the deformations of the Lie algebra into an L-infinity algebra. Similarly, the cyclic cohomology of a Lie algebra with an invariant inner product classifies the deformations of the Lie algebra into an L-infinity algebra which preserve the invariant inner product. The exterior coalgebra of a vector space is dual to the symmetric coalgebra of the parity reversion of the space, while the tensor coalgebra of a vector space is dual to the tensor coalgebra of its parity reversion. Using this duality, we introduce a modified bracket in the space of coderivations of the tensor and exterior coalgebras which makes it possible to treat the cohomology of an A-infinity or L-infinity as a differential graded algebra in the same manner in which the Gerstenhaber bracket is used to transform the Hochschild cochains of an associative algebra into a differential graded algebra.

研究动机与目标

• 通过L-∞代数将变形的上同调分类方法从结合代数推广至李代数。
• 类比A-∞代数的Hochschild与循环上同调，为L-∞代数定义普通上同调与循环上同调。
• 确立李代数在伴随表示下的上同调分类其变形为L-∞代数的结构。
• 在张量与外代数的余微分空间上引入修正括号，使上同调具备微分分次代数结构。
• 利用张量与外代数的对偶性及奇性反转，统一A-∞与L-∞代数的上同调处理框架。

提出的方法

• 利用向量空间的张量余代数与其奇性反转对偶空间的张量余代数之间的对偶性，关联A-∞与L-∞结构。
• 应用奇性余微分在张量与外代数上的概念，分别定义A-∞与L-∞代数。
• 在张量与外代数的余微分空间上引入修正括号，以模拟Gerstenhaber括号。
• 利用外代数作为奇性反转空间的对称代数的对偶，建立结构等价性。
• 通过李代数在伴随表示下的上同调定义L-∞代数的上同调。
• 在存在不变内积的情况下，将同一框架应用于循环上同调，确保内积在形变中保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用李代数的上同调来分类其变形为L-∞代数的结构？
• RQ2 Hochschild上同调应如何推广至L-∞代数？
• RQ3 不变内积的存在如何影响李代数变形为L-∞代数的形变理论？
• RQ4 能否在L-∞代数的上同调上构造出类似于Hochschild链上Gerstenhaber括号的微分分次代数结构？
• RQ5 张量与外代数之间的对偶性在统一A-∞与L-∞代数的上同调处理中起什么作用？

主要发现

• 李代数在伴随表示下的上同调分类了其变形为L-∞代数的结构。
• 具有不变内积的李代数的循环上同调分类了保持内积不变的形变。
• 在张量与外代数的余微分空间上引入的修正括号，使上同调具备类似于Gerstenhaber括号的微分分次代数结构。
• 向量空间的外代数与其奇性反转空间的对称代数对偶，实现了结构上的统一。
• 空间的张量代数与其奇性反转对偶空间的张量代数对偶，为该框架提供了基础对偶性。
• 该框架通过A-∞与L-∞代数，将变形的上同调分类方法从结合代数推广至李代数。