[论文解读] L-infinity structures on mapping cones

Domenico Fiorenza, Marco Manetti|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用 12

一句话总结

本文在微分graded李代数同态 $\chi: L \to M$ 的映射锥上构造了一个典范的 $L_∞$-代数结构，该结构同时提升 $L$ 上的李代数结构和锥上的微分。该构造在同构意义下唯一，并实现了文献 [19] 中定义的形变函子，使得 $L_∞$-代数技巧可应用于几何形变函子的研究。

ABSTRACT

We show that the mapping cone of a morphism of differential graded Lie algebras $χ\colon L o M$ can be canonically endowed with an $L_\infty$-algebra structure which at the same time lifts the Lie algebra structure on $L$ and the usual differential on the mapping cone. Moreover, this structure is unique up to isomorphisms of $L_\infty$-algebras. The associated deformation functor coincides with the one introduced by the second author in arXiv:math.AG/0507287.

研究动机与目标

• 为微分graded李代数同态 $\chi: L \to M$ 的映射锥 $C_\chi$ 赋予一个典范的 $L_\infty$-代数结构。
• 确保该结构同时提升 $L$ 上的李括号和 $C_\chi$ 上的微分。
• 证明由此得到的形变函子 $\operatorname{Def}_{\widetilde{C}(\chi)}$ 同构于文献 [19] 中定义的函子 $\operatorname{Def}_\chi$，后者用于建模几何形变问题。
• 建立该 $L_\infty$-结构在 $L_\infty$-代数同构意义下的唯一性。
• 为应用 $L_\infty$-代数工具（如Kuranishi映射和模空间描述）于由映射锥导出的形变函子提供框架。

提出的方法

• 定义映射锥 $C_\chi = L \oplus M[-1]$，其微分为 $\delta(l,m) = (dl, \chi(l) - dm)$，构成一个上链复形。
• 通过提升满足莱布尼茨法则但不满足雅可比恒等式的朴素括号，利用高阶括号进行校正，从而在 $C_\chi$ 上构造 $L_\infty$-代数结构。
• 使用同伦理论方法显式描述高阶 $L_\infty$ 括号，其中二次部分与朴素括号一致，高阶括号用于校正雅可比子式。
• 证明所得的 $L_\infty$-代数 $\widetilde{C}(\chi)$ 在 $L_\infty$-代数范畴中同构意义下唯一。
• 证明关联的形变函子 $\operatorname{Def}_{\widetilde{C}(\chi)}$ 同构于 $\operatorname{Def}_\chi$，后者通过扭转Maurer-Cartan方程解的规范等价类定义。
• 利用 $L_\infty$-代数的拟同构诱导形变函子同构的事实，证明该构造在同态 $\chi$ 的拟同构下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 微分graded李代数同态 $\chi: L \to M$ 的映射锥能否赋予一个典范的 $L_\infty$-代数结构，使其同时提升 $L$ 上的李代数结构和锥上的微分？
• RQ2 该 $L_\infty$-结构在 $L_\infty$-代数同构意义下是否唯一？
• RQ3 该 $L_\infty$-结构关联的形变函子是否与文献 [19] 中定义的函子 $\operatorname{Def}_\chi$ 一致，后者用于建模几何形变问题？
• RQ4 能否将 $L_\infty$-代数工具（如Kuranishi映射和模空间描述）应用于由映射锥导出的形变函子？
• RQ5 该 $L_\infty$-结构是否对同态 $\chi$ 的拟同构是函子性的且相容？

主要发现

• 任意微分graded李代数同态 $\chi: L \to M$ 的映射锥 $C_\chi$ 均可赋予一个典范的 $L_\infty$-代数结构，该结构同时提升 $L$ 上的李括号和 $C_\chi$ 上的微分，如定理 1 所证。
• 该 $L_\infty$-结构在 $L_\infty$-代数同构意义下唯一，从而确立了一个典范函子 $\widetilde{C}: \mathbf{DGLA}^2 \to \mathbf{L}_\infty$。
• 与该 $L_\infty$-代数关联的形变函子 $\operatorname{Def}_{\widetilde{C}(\chi)}$ 同构于文献 [19] 中定义的函子 $\operatorname{Def}_\chi$，如定理 2 所示。
• 该构造使得 $L_\infty$-代数技巧（如Kuranishi映射的同伦不变性及局部模空间描述）可应用于基于映射锥建模的形变问题。
• 若 $\chi$ 是拟同构，则诱导映射 $\widetilde{C}(\chi_1) \to \widetilde{C}(\chi_2)$ 是 $L_\infty$-代数的线性拟同构，从而诱导形变函子的同构，如定理 8.2 所示。
• 在 Hochschild 上同调的满同态 $A \to B$（核为 $I$）的例子中，当 $I^2 \neq 0$ 时，$K = \operatorname{Hoch}^\bullet(I,B)[-1]$ 上诱导的 $L_\infty$-结构非平凡，表现为 $[f,f] \neq 0$ 对某个类 $f \in H^1(K)$ 成立。