[论文解读] $L^p$-bounds for pseudo-differential operators on compact Lie groups

Julio Delgado, Michael Ruzhansky|arXiv (Cornell University)|May 23, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 20被引用 11

一句话总结

本文通过在 $G \times \widehat{G}$ 上使用矩阵符号，建立了紧李群上伪微分算子的 $L^p$-有界性，将费弗曼在 $\mathbb{R}^n$ 上的 $L^p$ 估计推广至紧群。该文在不需假设 $\rho > \delta$ 或 $\rho > 1 - \delta$ 的条件下，证明了 $\mathscr{S}_{\rho,\delta}^m(G)$ 类符号的 $L^p$ 有界性，从而允许新的类如 $\mathscr{S}_{0,0}^m$ 和 $\mathscr{S}_{1/2,0}^m$ 在 $SU(2) \cong \mathbb{S}^3$ 上成立，而这些类在经典条件不成立时仍有效。

ABSTRACT

Given a compact Lie group $G$, in this paper we establish $L^p$-bounds for pseudo-differential operators in $L^p(G)$. The criteria here are given in terms of the concept of matrix symbols defined on the non-commutative analogue of the phase space $G imes\widehat{G}$, where $\widehat{G}$ is the unitary dual of $G$. We obtain two different types of $L^p$ bounds: first for finite regularity symbols and second for smooth symbols. The conditions for smooth symbols are formulated using $\mathscr{S}_{ρ,δ}^m(G)$ classes which are a suitable extension of the well known $(ρ,δ)$ ones on the Euclidean space. The results herein extend classical $L^p$ bounds established by C. Fefferman on $\mathbb R^n$. While Fefferman's results have immediate consequences on general manifolds for $ρ>\max\{δ,1-δ\}$, our results do not require the condition $ρ>1-δ$. Moreover, one of our results also does not require $ρ>δ$. Examples are given for the case of SU(2)$\cong\mathbb S^3$ and vector fields/sub-Laplacian operators when operators in the classes $\mathscr{S}_{0,0}^m$ and $\mathscr{S}_{\frac12,0}^m$ naturally appear, and where conditions $ρ>δ$ and $ρ>1-δ$ fail, respectively.

研究动机与目标

• 建立紧李群上具有有限正则性和光滑符号的伪微分算子的 $L^p$-有界性。
• 将 $\mathbb{R}^n$ 上的经典 $L^p$ 估计推广至紧李群，特别是克服 $\rho$ 和 $\delta$ 参数的限制。
• 在紧李群上定义并分析 $\mathscr{S}_{\rho,\delta}^m(G)$ 类，作为霍尔曼德类的非交换类比。
• 证明即使在 $\rho \leq \delta$ 或 $\rho \leq 1 - \delta$ 时，$L^p$ 有界性依然成立，而这些条件在经典欧氏理论中会失效。
• 为 $SU(2) \cong \mathbb{S}^3$ 上的算子及次拉普拉斯算子提供精确的 $L^p$ 估计，其中 $\mathscr{S}_{0,0}^m$ 和 $\mathscr{S}_{1/2,0}^m$ 自然出现。

提出的方法

• 通过在 $G \times \widehat{G}$ 上使用矩阵符号，在紧李群上实现全局量化，推广了柯恩-尼伦伯格量化。
• 应用复插值法处理在带域 $0 \leq \operatorname{Re} z \leq 1$ 内的解析算子族 $T_z$，利用 $L^2$ 有界性和 $BMO$ 估计。
• 采用通过算子范数和矩阵符号增长条件定义的 $\mathscr{S}_{\rho,\delta}^m(G)$ 符号类。
• 利用 $\mathscr{S}_{1-a,\delta}^{-\nu}$ 中符号的半范数，建立 $\|T_z\|_{\mathcal{L}(L^2)}$ 的一致有界性，其中 $a = 1 - \rho$。
• 通过对偶性和插值，将 $L^p$ 有界性从 $p=2$ 推广至 $p \in (1,\infty)$，导出条件 $\left| \frac{1}{p} - \frac{1}{2} \right| \leq \frac{\nu}{na}$。
• 利用 $\langle \xi \rangle^{i\frac{na}{2}s} I_{d_\xi} \in \mathscr{S}_{1-a,\delta}^0$ 的事实，证明在复缩放下符号类保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不需 $\rho > \delta$ 或 $\rho > 1 - \delta$ 的条件下，将 $\mathbb{R}^n$ 上伪微分算子的 $L^p$-有界性结果推广至紧李群？
• RQ2 在 $\mathscr{S}_{\rho,\delta}^m(G)$ 类中，算子在 $L^p(G)$ 上有界的最优 $p$ 范围是什么？其依赖关系如何受 $\rho$、$\delta$ 和 $m$ 的影响？
• RQ3 在非交换紧李群如 $SU(2)$ 上，$\mathscr{S}_{\rho,\delta}^m(G)$ 类的行为如何？经典条件失效时是否仍成立？
• RQ4 复插值与 $BMO$ 估计能否用于推导紧群上非光滑符号的 $L^p$ 有界性？
• RQ5 非交换相空间 $G \times \widehat{G}$ 在刻画伪微分算子 $L^p$-有界性方面起什么作用？

主要发现

• 本文证明了在不需 $\rho > \delta$ 或 $\rho > 1 - \delta$ 的条件下，紧李群上 $\mathscr{S}_{\rho,\delta}^m(G)$ 类符号的伪微分算子具有 $L^p$-有界性，从而推广了费弗曼的结果。
• 对于 $\mathscr{S}_{1-a,\delta}^{-\nu}(G)$ 类符号，其中 $a = 1 - \rho$，算子 $\sigma(x,D)$ 在 $L^p(G)$ 上有界，当且仅当 $\left| \frac{1}{p} - \frac{1}{2} \right| \leq \frac{\nu}{na}$，其中 $n = \dim G$。
• 该界是精确的：当 $G = \mathbb{T}^1$ 时，若 $\nu_0 < \frac{1 - \rho}{2}$，则 $L^p$ 有界性在 $p=2$ 附近有限区间外失效，与经典乘子理论一致。
• $SU(2) \cong \mathbb{S}^3$ 上的类 $\mathscr{S}_{0,0}^m(G)$ 被证明是有效的且 $L^p$-有界，尽管 $\rho = 0 \leq \delta = 0$ 违反了经典 $\rho > \delta$ 条件。
• $SU(2)$ 上的类 $\mathscr{S}_{1/2,0}^m(G)$ 同样具有 $L^p$-有界性，即使 $\rho = \frac{1}{2} \leq 1 - \delta = 1$，表明 $\rho > 1 - \delta$ 条件的失效并非障碍。
• 该结果将费弗曼的 $L^p$ 估计推广至紧李群，并为使用非交换符号微积分在非交换群上建立 $L^p$ 理论提供了框架。