[论文解读] $L^p$-regularity of the Bergman projection on quotient domains

Chase Bender, Debraj Chakrabarti+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文確立了在稱為單項式多面體（monomial polyhedra）的一類奇異 Reinhardt 定義域上，Bergman 投影的尖銳 $L^p$-有界性範圍——這些定義域被定義為 $
\mathbb{C}^n$ 中單項式的次水平集。透過將這些定義域表示為單位球在有限群作用下透過單項式映射的商空間，作者根據定義域的算術複雜度 $
\kappa(\mathscr{U})$ 衍生出關鍵 $p$-範圍的精確公式，顯示隨著複雜度增加，有界性範圍會縮小。

ABSTRACT

We obtain sharp ranges of $L^p$-boundedness for domains in a wide class of Reinhardt domains representable as sub-level sets of monomials, by expressing them as quotients of simpler domains. We prove a general transformation law relating $L^p$-boundedness on a domain and its quotient by a finite group. The range of $p$ for which the Bergman projection is $L^p$-bounded on our class of Reinhardt domains is found to shrink as the complexity of the domain increases.

研究动机与目标

• 確立單項式多面體這類廣泛的奇異 Reinhardt 定義域上 Bergman 投影的 $L^p$-有界性範圍的精確值。
• 建立一般變換法則，連結定義域及其在有限群作用下商空間上 Bergman 投影的 $L^p$-有界性。
• 以算術不變量 $\kappa(\mathscr{U})$ 表達有界性的尖銳 $p$-範圍，其中 $\kappa(\mathscr{U})$ 透過矩陣 $B^{-1}$ 的各欄的射影高度定義，而 $B$ 則編碼了定義不等式的單項式指數。
• 將 Bergman 投影正則性理解從光滑有界定義域推廣至更具奇異性、但幾何上可處理的強擬凸定義域，其邊界非 Lipschitz。
• 透過釐清算術複雜度 $\kappa(\mathscr{U})$ 的幾何意義，為將 $L^p$-正則性結果推廣至更廣泛的定義域類別奠定基礎。

提出的方法

• 作者將單項式多面體 $\mathscr{U}$ 表示為單位球 $\mathbb{D}^n$ 在有限群作用下透過正則全純單項式映射的商空間。
• 他們推導出在這種商映射下 $L^p$-範數的變換法則，透過變數變換（包含雅可比行列式與單項式權重）將 $\mathscr{U}$ 上的 Bergman 投影與 $\mathbb{D}^n$ 上的投影關聯起來。
• 關鍵不變量 $\kappa(\mathscr{U})$ 定義為標準基向量 $e_k$ 對應的 $\mathsf{h}(B^{-1}e_k)$ 的最大值，其中 $B$ 是定義 $\mathscr{U}$ 的不等式中指數矩陣。
• 利用單位球上 Bergman 投影已知的 $L^p$-有界性，並應用變換法則，透過插值與對偶性論證，推導出 $\mathscr{U}$ 上有界性的尖銳 $p$-範圍。
• 證明依賴於單項式變數變換下加權 $L^p$-範數的明確計算，使用權重函數的齊次性與雅可比矩陣行列式的性質。
• 利用 $L^2$ 上 Bergman 投影的 Hölder 對稱性，將有界性範圍從 $p \geq 2$ 延伸至完整的對稱區間 $\left(\frac{2\kappa(\mathscr{U})}{\kappa(\mathscr{U})+1}, \frac{2\kappa(\mathscr{U})}{\kappa(\mathscr{U})-1}\right)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{C}^n$ 中定義為單項式次水平集的單項式多面體 $\mathscr{U}$ 上，Bergman 投影的 $p$-有界性範圍的精確值為何？
• RQ2 當商映射為單項式映射時，商空間上 Bergman 投影的 $L^p$-有界性與原空間上的有界性有何關係？
• RQ3 能否以定義域的內在幾何或算術不變量來表達 $L^p$-有界性範圍，而不依賴於定義不等式表達的特定形式？
• RQ4 隨著定義域複雜度增加，有界性範圍如何變化，特別是在無限複雜度的極限下？
• RQ5 是否存在 Bergman 投影的自然替代形式，使其在尖銳範圍外的 $p$ 值下仍保持 $L^p$-有界，特別是在廣義 Hartogs 三角形的情況下？

主要发现

• 單項式多面體 $\mathscr{U}$ 上的 Bergman 投影若且唯若 $p$ 屬於開區間 $\left(\frac{2\kappa(\mathscr{U})}{\kappa(\mathscr{U})+1}, \frac{2\kappa(\mathscr{U})}{\kappa(\mathscr{U})-1}\right)$ 時為 $L^p$-有界，其中 $\kappa(\mathscr{U})$ 為定義域的算術複雜度。
• 算術複雜度 $\kappa(\mathscr{U})$ 定義為標準基向量 $e_k$ 對應的 $\mathsf{h}(B^{-1}e_k)$ 的最大值，其中 $B$ 為定義 $\mathscr{U}$ 的單項式不等式中指數矩陣。
• 隨著複雜度 $\kappa(\mathscr{U})$ 增加，$L^p$-有界性範圍縮小，且在無限複雜度極限下趨近於單點 $p=2$。
• 對於廣義 Hartogs 三角形 $H_{k_1/k_2} = \{ (z_1,z_2) : |z_1|^{k_1/k_2} < |z_2| < 1 \}$，其複雜度為 $\kappa = k_1 + k_2$，有界性範圍為 $\left(\frac{2(k_1+k_2)}{k_1+k_2+1}, \frac{2(k_1+k_2)}{k_1+k_2-1}\right)$。
• 當指數 $\gamma > 0$ 為無理數時，定義域 $\{ |z_1|^\gamma < |z_2| < 1 \}$ 具有無限複雜度，且 Bergman 投影僅在 $p=2$ 時有界，與 $\kappa \to \infty$ 時公式之極限一致。
• 作者建立了一般 $L^p$-範數在單項式商映射下的變換法則，使 $L^p$-有界性結果能透過群商從單位球傳遞至更複雜的定義域。