[论文解读] $L^p$-trace-free generalized Korn inequalities for incompatible tensor fields in three space dimensions

Peter Lewintan, Patrizio Neff|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2020

Composite Material Mechanics参考文献 60被引用 8

一句话总结

本文在三维空间中建立了不相容张量场的 $L^p$-迹自由广义Korn不等式，证明了张量场 $P$ 及其旋度的 $L^p$-范数可被其对称部分和旋度的偏量部分控制。关键结果是一个涉及 $\|\mathrm{dev\,sym}\,P\|_{L^p}$ 和 $\|\mathrm{dev\,Curl}\,P\|_{L^p}$ 的精确估计，适用于属于 $W^{1,p}_0(\mathrm{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times3})$ 的张量场，将经典的Korn不等式推广至不相容且迹自由的情形，具有弹性力学与塑性力学中的应用价值。

ABSTRACT

For $10$ such that \[ \|{ P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})}\leq c\,\left(\|{\operatorname{dev} \operatorname{sym} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})} + \|{ \operatorname{dev} \operatorname{Curl} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})} ight) \] holds for all tensor fields $P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})$, i.e., for all $P\in W^{1,\,p}(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})$ with vanishing tangential trace $ P imes ν=0 $ on $ \partialΩ$ where $ν$ denotes the outward unit normal vector field to $\partialΩ$ and $\operatorname{dev} P := P -\frac13 \operatorname{tr}(P)\,\mathbb{1}_3$ denotes the deviatoric (trace-free) part of $P$. We also show the norm equivalence \[ \|{ P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})}+\|{\operatorname{Curl} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})}\leq c\,\left(\|{\operatorname{dev} \operatorname{sym} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})} + \|{ \operatorname{dev}\operatorname{Curl} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})} ight) \] for tensor fields $P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3 imes3})$. These estimates also hold true for tensor fields with vanishing tangential trace only on a relatively open (non-empty) subset $Γ\subseteq \partialΩ$ of the boundary.

研究动机与目标

• 将经典的Korn型不等式推广至三维空间中具有迹自由约束的不相容张量场。
• 在边界上切向迹为零的条件下，建立 $L^p$-空间中张量场的强制估计。
• 将迹自由Korn不等式推广至涉及不相容性的设置，如位错密度与梯度塑性。
• 建立涉及 $\|P\|_{L^p} + \|\mathrm{Curl}\,P\|_{L^p}$ 与 $\mathrm{sym}\,P$ 和 $\mathrm{Curl}\,P$ 的偏量部分的范数等价关系。
• 在较弱的边界条件下验证结果，包括边界上相对开子集上切向迹为零的情形。

提出的方法

• 证明依赖于Lions引理和Nédça估计，通过其对称与旋度分量控制 $P$ 的 $L^p$-范数。
• 作者利用 $P$ 的二阶导数可表示为 $\mathrm{sym}\,P$ 和 $\mathrm{Curl}\,P$ 的一阶导数的线性组合，借助偏量算子核的结构。
• 关键步骤在于证明：在给定边界条件下，$\mathrm{dev\,sym}$ 和 $\mathrm{dev\,Curl}$ 核中的任意弱极限 $P^*$ 必须为零，从而表明核平凡，进而保证强制性。
• 分析在 $W^{1,p}_0(\mathrm{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times3})$ 中进行，其中 $P \times \nu = 0$ 在 $\partial\Omega$ 上成立，确保切向迹为零。
• 该方法被扩展至仅在边界相对开子集 $\Gamma \subset \partial\Omega$ 上切向迹为零的场，使用改进的迹理论。
• 通过紧嵌入与弱收敛论证推导结果，对对称与旋度分量的偏量部分（迹自由部分）进行了细致处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在三维空间中为不相容张量场建立广义的 $L^p$-迹自由Korn不等式？
• RQ2 在切向边界条件下，$P$ 与 $\mathrm{Curl}\,P$ 在 $L^p$-空间中的范数是否能控制 $\mathrm{sym}\,P$ 与 $\mathrm{Curl}\,P$ 的偏量部分？
• RQ3 在 $W^{1,p}_0(\mathrm{Curl})$ 边界条件下，联合算子 $\mathrm{dev\,sym}$ 与 $\mathrm{dev\,Curl}$ 的核是否平凡，从而保证强制性？
• RQ4 该不等式能否推广至仅在边界子集上切向迹为零的张量场？
• RQ5 在 $W^{1,p}_0(\mathrm{Curl})$ 中，范数等价关系 $\|P\|_{L^p} + \|\mathrm{Curl}\,P\|_{L^p} \lesssim \|\mathrm{dev\,sym}\,P\|_{L^p} + \|\mathrm{dev\,Curl}\,P\|_{L^p}$ 是否成立？

主要发现

• 对所有 $P \in W^{1,p}_0(\mathrm{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times3})$ 且 $1 < p < \infty$，存在常数 $c > 0$ 使得不等式 $\|P\|_{L^p(\Omega)} \leq c \left( \|\mathrm{dev\,sym}\,P\|_{L^p(\Omega)} + \|\mathrm{dev\,Curl}\,P\|_{L^p(\Omega)} \right)$ 成立，证明了迹自由设定下的强制性。
• 对 $P \in W^{1,p}_0(\mathrm{Curl}; \Omega, \mathbb{R}^{3\times3})$，建立了范数等价关系 $\|P\|_{L^p} + \|\mathrm{Curl}\,P\|_{L^p} \leq c \left( \|\mathrm{dev\,sym}\,P\|_{L^p} + \|\mathrm{dev\,Curl}\,P\|_{L^p} \right)$，表明对 $P$ 及其旋度实现了完全控制。
• 结果可推广至仅在边界相对开、非空子集 $\Gamma \subset \partial\Omega$ 上切向迹为零的张量场，拓展了适用范围。
• 当 $P = Du$ 时，不等式退化为切向迹自由的Korn不等式：$\|Du\|_{L^p} \leq c \|\mathrm{dev\,sym}\,Du\|_{L^p}$，对满足 $Du \times \nu = 0$ 于 $\partial\Omega$ 的 $u \in W^{1,p}(\Omega, \mathbb{R}^3)$ 成立。
• 当 $P = \mathrm{Anti}(a)$ 为反对称张量时，结果导出一个Poincaré型不等式：$\|a\|_{L^p} \leq c \|\mathrm{dev\,Da}\|_{L^p}$，对满足 $a \in W^{1,p}_0(\Omega, \mathbb{R}^3)$ 的 $a$ 成立。
• 即使 $\mathrm{Curl}\,P$ 仅属于 $L^1$，该不等式依然成立，提示其可能推广至正则性更低的场，尽管 $p=1$ 的临界情形仍为开放问题。