[论文解读] On the optimal constants in Korn's and geometric rigidity estimates, in bounded and unbounded domains, under Neumann boundary conditions

Marta Lewicka, Stefan Müller|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文在整個平面 ℝ² 上確立了幾何剛性估計的最優常數為 √2，並證明在具有諾伊曼型切向邊界條件的有界區域上，Korn 常數至少為 √2，且當且僅當最優變形被實現時等號成立。該研究將線性與非線性彈性估計聯繫起來，並對極值場的可實現性與結構進行了特徵分析。

ABSTRACT

We are concerned with the optimal constants: in the Korn inequality under tangential boundary conditions on bounded sets $Ω\subset \mathbb{R}^n$, and in the geometric rigidity estimate on the whole $\mathbb{R}^2$. We prove that the latter constant equals $\sqrt{2}$, and we discuss the relation of the former constants with the optimal Korn's constants under Dirichlet boundary conditions, and in the whole $\mathbb{R}^n$, which are well known to equal $\sqrt{2}$. We also discuss the attainability of these constants and the structure of deformations/displacement fields in the optimal sets.

研究动机与目标

• 確定在 ℝⁿ 中有界、Lipschitz 連通區域上，具有切向（諾伊曼型）邊界條件的 Korn 不等式中最優常數。
• 在整個空間 ℝ² 上確立最優幾何剛性常數，將已知的狄利克雷情形推廣至諾伊曼情形。
• 特徵化最優 Korn 常數等於 √2 的條件，以及其大於 √2 的條件，並分析極小化子的結構。
• 研究 Korn 與幾何剛性估計中上確界是否可實現，並描述極值場的空間結構。
• 將有界區域中最佳常數的行為與 ℝⁿ 及整個空間中的對應常數聯繫起來。

提出的方法

• 透過在單位對稱梯度與切向邊界條件下對場取上確界，採用變分特徵化最優常數。
• 應用傅里葉分析與普朗歇爾恆等式，求解 ℝ² 中向量場的旋度為零系統 (5.20)。
• 將梯度分解為對稱與反對稱部分：∇u = (u)ᶜ + (u)ᵃ，其中 (u)ᶜ ∈ SO(2)，(u)ᵃ 為跡為零的對稱部分。
• 採用分解 ∇u = R(α) + g，其中 R(α) ∈ SO(2)，g ∈ L²(ℝ²)，以分析幾何剛性估計。
• 利用恆等式 ‖∇u − R‖² = ‖(∇u)ᶜ − R‖² + ‖(∇u)ᵃ‖²，將 L² 模中的旋轉部分與偏離部分分離。
• 應用傅里葉變換求解系統 ∂₁g₂ − ∂₂g₁ = ∂₁f₂ − ∂₂f₁ 與 ∂₁g₁ + ∂₂g₂ = ∂₁f₁ + ∂₂f₂，其中 f = (sin α, cos α − 1)ᵀ。

实验结果

研究问题

• RQ1 在無邊界條件下，ℝ² 上幾何剛性估計的最優常數為何？
• RQ2 在有界區域上具有切向（諾伊曼型）邊界條件的 Korn 常數與全域常數 √2 有何關係？
• RQ3 在何種條件下最優 Korn 常數恰好為 √2，何時會嚴格大於 √2？
• RQ4 Korn 不等式中上確界何時可實現？極值場的結構為何？
• RQ5 ℝ² 中最優常數 √2 是否可由滿足 ∇u − R₀ ∈ L²(ℝ²) 的場實現，其中 R₀ ∈ SO(2)？

主要发现

• 在 ℝ² 上，幾何剛性估計的最優常數恰好為 √2，且該界是緊的。
• 對於任意有界、Lipschitz 且連通的區域 Ω ⊂ ℝⁿ，具有切向邊界條件的 Korn 常數滿足 κ(Ω) ≥ √2。
• 常數 κ(Ω) 等於 √2，當且僅當存在一列場 uₖ，滿足 ∇uₖ 弱收斂於 0，‖D(uₖ)‖_{L²} = 1，且 ‖∇uₖ‖_{L²} → √2。
• 若 κ(Ω) > √2，則 Korn 不等式中的上確界可實現，且極值場的集合構成 W¹,²(Ω, ℝⁿ) 中的有限維閉子空間。
• 在 ℝ² 中，最優常數 √2 可由滿足 ∇u = R(α) + g 的場實現，其中 R(α) − R₀ ∈ L²(ℝ²)，g ∈ L²(ℝ²)，且 α ∈ L²(ℝ²)。
• 極值場滿足 ∇u = R(α) + g，其中 R(α) ∈ SO(2)，g ∈ L²(ℝ²)，且 ∫|∇u − R₀|² = 2∫dist²(∇u, SO(2)) = 2∫(a² + b²)，其中 (a,b) 為 g 的分量。