[论文解读] $L^q(L^p)$-theory of stochastic differential equations

Pengcheng Xia, Longjie Xie+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文建立了带乘性噪声的随机微分方程的 $L^q(L^p)$ 理论，证明了强解关于初值的弱可微性，并在漂移和扩散系数满足局部 $L^p$-可积条件时推导出 Bismut-Elworthy-Li 公式。此外，本文在临界端点情形 $b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{d;\text{uni}}_{\infty}$ 下证明了弱适定性，通过 Zvonkin 变换和 Krylov 估计将先前结果推广至局部和奇异系数的情形。

ABSTRACT

In this paper we show the weak differentiability of the unique strong solution with respect to the starting point $x$ as well as Bismut-Elworthy-Li's derivative formula for the following stochastic differential equation in $\mathbb R^d$: $$ { m d} X_t=b(t,X_t){ m d} t+σ(t,X_t){ m d} W_t,\ \ X_0=x\in\mathbb R^d, $$ where $σ$ is bounded, uniformly continuous and nondegenerate, $ ablaσ\in \widetilde{\mathbb L}^{p_1}_{q_1}$ and $b\in \widetilde{\mathbb L}^{p_2}_{q_2}$ for some $p_i,q_i\in[2,\infty)$ with $\frac{d}{p_i}+\frac{2}{q_i}<1$, $i=1,2$, where $\widetilde{\mathbb L}^{p_i}_{q_i}, i=1,2$ are some localized spaces. Moreover, in the endpoint case $b\in \widetilde{\mathbb L}^{d; { m uni}}_\infty$, we also show the weak well-posedness.

研究动机与目标

• 将此前针对有界可测和 $L^p(L^q)$-型漂移所建立的关于奇异漂移的 SDE 解的弱可微性与 Malliavin 正则性结果，统一并推广至局部可积系数的情形。
• 在漂移与扩散系数满足局部 $L^p(L^q)$-条件时，为带乘性噪声的 SDE 解流建立 Bismut-Elworthy-Li 导数公式。
• 证明当漂移属于临界端点空间 $b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{d;\text{uni}}_{\infty}$ 时，SDE 的弱解存在且唯一，此前方法因缺乏正则性而失效。
• 通过 Zvonkin 变换与 Krylov 估计构建统一框架，以处理 $L^q(L^p)$-框架下的非退化扩散与奇异漂移。

提出的方法

• 利用 Zvonkin 变换构造一个正则化变量变换，将 SDE 转化为具有更好可积性质的形式，从而能够应用 $L^p(L^q)$-估计。
• 采用 Krylov 对 Kolmogorov 方程在局部化 $\widetilde{\mathbb{L}}^{p}_{q}$-空间中的先验估计，以控制解及其导数的增长。
• 应用对偶论证与 Sobolev 嵌入估计，控制后向 Kolmogorov 方程在 $\widetilde{\mathbb{H}}^{2,p}_{q}$-空间中解的正则性。
• 通过 mollification 与基于 Chebyshev 不等式的紧致性论证，实现逼近解序列的极限过程，确保连续路径空间中概率测度的收敛性。
• 采用带 $\chi_R$ 的截断技术对问题进行局部化，并应用控制收敛定理，实现对 mollified 解应用 Itô 公式时的极限传递。
• 依赖于鞅解的表征方法，并通过恒等式 $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{(i)}_x}\left(\int_0^T f(s,\omega_s)ds\right) = u(0,x)$（由后向方程与 Itô 公式导出）证明唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在漂移局部可积且扩散系数非退化的条件下，建立带乘性噪声的 SDE 解流关于初值的弱可微性？
• RQ2 在漂移与扩散系数满足 $L^p(L^q)$-可积性条件（甚至在局部化情形下），Bismut-Elworthy-Li 导数公式是否仍然成立？
• RQ3 当漂移属于临界端点空间 $\widetilde{\mathbb{L}}^{d;\text{uni}}_{\infty}$ 时，SDE 的弱适定性（弱解的存在性与唯一性）是否可实现？
• RQ4 当漂移仅为局部可积时，Zvonkin 变换能否被适配于有界、一致连续且非退化的扩散系数情形？
• RQ5 在 $\widetilde{\mathbb{L}}^{p}_{q}$-框架下，Krylov 估计在处理奇异系数情形下的解的正则性与唯一性中起何种作用？

主要发现

• 在 $\sigma$ 有界、一致连续且非退化，且 $\nabla\sigma \in \widetilde{\mathbb{L}}^{p_1}_{q_1}$ 与 $b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{p_2}_{q_2}$ 的假设下，$p_i, q_i \in [2,\infty)$ 满足 $\frac{d}{p_i} + \frac{2}{q_i} < 1$，SDE 的强解 $X_t(x)$ 几乎必然关于初值 $x$ 弱可微。
• 推导出解流的 Bismut-Elworthy-Li 导数公式，提供了过渡密度梯度的随机表示，其形式为解路径泛函的期望。
• 在端点情形 $b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{d;\text{uni}}_{\infty}$ 下，弱解的存在性与唯一性得以证明，将适用范围扩展至经典 $L^p(L^q)$-框架之外。
• 证明依赖于逼近序列 $X^n_t$ 的紧致性，该紧致性由 Krylov 估计与 Chebyshev 不等式导出，确保了概率测度收敛于一个鞅解。
• 通过证明后向 Kolmogorov 方程在终值为零时的解满足 $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{(i)}_x}\left(\int_0^T f(s,\omega_s)ds\right) = u(0,x)$ 对所有测试函数 $f$ 成立，从而证明了鞅解的唯一性，进而推出概率测度的唯一性。
• 该方法成功克服了在有界漂移情形下 Zvonkin 变换失效的问题，通过使用局部化 $L^p(L^q)$-空间与对偶论证，绕过了对 $\mathbb{H}^{2,\infty}$-解的需求。