[论文解读] Heat kernel and ergodicity of SDEs with distributional drifts

Xicheng Zhang, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 23

一句话总结

本文在漂移项 $ b \in H^{-\alpha,p} $ 和扩散系数 $ \sigma $ 的弱正则性假设下，建立了 $ \mathbb{R}^d $ 中具有分布型漂移的 SDE 的热核的存在性、唯一性及精确的双侧梯度估计。通过 Zvonkin 变换和广义 Itô 公式，证明了在发散漂移条件下过程的遍历性及不变测度的全局正则性，将经典结果推广至奇异漂移情形。

ABSTRACT

In this paper we consider the following SDE with distributional drift $b$: $$ { m d} X_t=σ(X_t){ m d} B_t+b(X_t){ m d} t,\ X_0=x\in{\mathbb R}^d, $$ where $σ$ is a bounded continuous and uniformly non-degenerate $d imes d$-matrix-valued function, $B$ is a $d$-dimensional standard Brownian motion. Let $α\in(0,\frac{1}{2}]$, $p\in(\frac{d}{1-α},\infty)$ and $β\in[α,1]$, $q\in(\frac{d}β,\infty)$. Assume $\|({\mathbb I}-Δ)^{-α/2}b\|_p+\|(-Δ)^{β/2}σ\|_q

研究动机与目标

• 在 $ \sigma $ 有界、连续且一致非退化时，建立 $ b \in \mathscr{D}' $ 的分布型漂移 SDE 的鞅解的存在性与唯一性。
• 在 $ b \in H^{-\alpha,p} $ 且 $ \sigma \in H^{\beta,q} $ 的条件下，导出与这类 SDE 相关的热核的精确双侧估计与梯度估计，满足适当的可积性条件。
• 在发散漂移假设下，研究不变测度的遍历性与全局正则性，将经典结果推广至分布型漂移的情形。
• 为由布朗运动驱动、具有奇异漂移的 SDE 构造广义 Itô 公式与 Zvonkin 型变换，使分析得以超越经典半鞅理论的范围。

提出的方法

• 通过椭圆算子 $ \mathscr{L}^a $（与 $ \sigma $ 相关联）的 PDE 解 $ \mathbf{u} $ 构造 Zvonkin 变换：$ \mathscr{L}^a u - \lambda u = -b \cdot \nabla u $，以正则化具有分布型漂移的 SDE。
• 在基于 $ L^p $ 的 Sobolev 空间中使用 Krylov 型先验估计，控制漂移项的时间积分，确保截断逼近在 u.c.p. 拓扑下收敛。
• 应用 Dirichlet 过程的广义 Itô 公式，推导 $ u(X_t) $ 的动态，从而导出 $ X_t $ 的分布的局部 Krylov 估计。
• 在 $ b $ 满足适当小性条件时，证明存在唯一的 $ C^1 $-微分同胚 $ \Phi = \mathrm{id} + \mathbf{u} $，将原 SDE 转化为标准扩散过程。
• 利用变换后的 SDE 证明变换后过程存在唯一的不变测度 $ \tilde{\mu} $，并通过 $ \Phi $ 的逆映射将之回传，得到原过程的不变测度 $ \mu = \tilde{\mu} \circ \Phi^{-1} $。
• 利用 Sobolev 嵌入与正则性传递，证明不变密度 $ \varrho $ 属于 $ H^{\gamma,r} $，其中 $ r = \nu/(\nu-1) $ 且 $ \nu > d/(1-\gamma) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ b \in H^{-\alpha,p} $ 与 $ \sigma \in H^{\beta,q} $ 的何种条件下，具有分布型漂移的 SDE 允许唯一的鞅解？
• RQ2 当漂移为分布型且扩散非退化时，SDE 的热核的精确双侧估计与梯度估计为何？
• RQ3 所关联的马尔可夫过程是否具有不变测度？若有，其在 Sobolev 或 Hölder 空间中的正则性如何？
• RQ4 即使漂移不是函数而是分布，是否也能在发散漂移假设下建立过程的遍历性？
• RQ5 Zvonkin 变换与广义 Itô 公式如何推广至具有分布型漂移的 SDE，以实现对路径正则性与不变测度的分析？

主要发现

• 当 $ \|({\mathbb{I}} - \Delta)^{-\alpha/2}b\|_p + \|(-\Delta)^{\beta/2}\sigma\|_q < \infty $ 时，SDE 存在唯一鞅解，其中 $ \alpha \in (0, \frac{1}{2}] $，$ p \in (\frac{d}{1-\alpha}, \infty) $，$ \beta \in [\alpha, 1] $，$ q \in (\frac{d}{\beta}, \infty) $。
• 热核 $ p_t(x,y) $ 满足精确双侧估计 $ c_1 t^{-d/2} \exp(-c_2 |x-y|^2/t) \leq p_t(x,y) \leq c_3 t^{-d/2} \exp(-c_4 |x-y|^2/t) $ 与梯度估计 $ |\nabla_x p_t(x,y)| \leq C t^{-\frac{d+1}{2}} \exp(-c |x-y|^2/t) $，其中 $ c_i, C > 0 $ 为正常数。
• 在发散漂移条件 $ \langle b(x) - b(y), x - y \rangle \leq -\vartheta |x-y|^2 $（$ \vartheta > 0 $）下，过程是遍历的，且存在唯一的不变测度 $ \mu $。
• 不变密度 $ \varrho $ 属于 $ H^{\gamma,r} $，其中 $ \gamma > 0 $ 且 $ r \in (1, \frac{d}{d + \gamma - 1}) $，表明不变测度具有全局正则性。
• Krylov 型估计 $ \mathbf{E}\left[ \sup_{t \in [0,T]} \left| \int_0^t f(X_s) ds \right| \right] \leq C \|f\|_{-\alpha,p} $ 对 $ f \in H^{-\alpha,p} $ 成立，确保截断漂移积分的收敛性。
• 变换后过程 $ Y_t = \Phi(X_t) $ 满足具有光滑系数的标准 SDE，其不变测度 $ \tilde{\mu} $ 属于 $ H^{\gamma,r} $，并由此提升为 $ \mu = \tilde{\mu} \circ \Phi $，其密度 $ \varrho = \tilde{\varrho} \circ \Phi \cdot \det(\nabla \Phi) $ 也属于 $ H^{\gamma,r} $。