[论文解读] La conjecture locale de Gross-Prasad pour les repr\\'esentations temp\\'er\\'ees des groupes unitaires

Raphaël Beuzart-Plessis|arXiv (Cornell University)|May 14, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 15

一句话总结

该论文为非阿基米德局部域上酉群 $ G = U(n) $ 到子群 $ H = U(n-1) $ 的限制中，一个温良表示 $ \sigma $ 在另一个温良表示 $ \pi $ 中的重数 $ m(\pi, \sigma) $ 建立了一个积分公式。在温良 $ L $-包的标准猜想下，证明了在拟分裂与非拟分裂形式的 $ L $-包并集中，恰好存在一对 $ (\pi, \sigma) $ 满足 $ m(\pi, \sigma) = 1 $，从而确认了温良表示情形下局部 Gross-Prasad 猜想的关键部分。

ABSTRACT

Let $E/F$ be a quadratic extension of non-archimedean local fields of characteristic 0 and let $G=U(n)$, $H=U(m)$ be unitary groups of hermitian spaces $V$ and $W$. Assume that $V$ contains $W$ and that the orthogonal complement of $W$ is a quasisplit hermitian space (i.e. whose unitary group is quasisplit over $F$). Let $\\pi$ and $\\sigma$ be smooth irreducible representations of $G(F)$ and $H(F)$ respectively. Then Gan, Gross and Prasad have defined a multiplicity $m(\\pi,\\sigma)$ which for $m=n-1$ is just the dimension of $Hom_{H(F)}(\\pi,\\sigma)$. For $\\pi$ and $\\sigma$ tempered, we state and prove an integral formula for this multiplicity. As a consequence, assuming some expected properties of tempered $L$-packets, we prove a part of the local Gross-Prasad conjecture for tempered representations of unitary groups. This article represents a straight continuation of recent papers of Waldspurger dealing with special orthogonal groups.

研究动机与目标

• 将 Waldspurger 对标准正交群的工作推广至酉群。
• 为从 $ U(n) $ 到 $ U(n-1) $ 的温良表示 $ \pi $ 限制中，温良表示 $ \sigma $ 的重数 $ m(\pi, \sigma) $ 建立一个积分公式。
• 在温良 $ L $-包的标准猜想下，证明在拟分裂与非拟分裂形式的 $ L $-包并集中，恰好存在一对 $ (\pi, \sigma) $ 满足 $ m(\pi, \sigma) = 1 $，从而确认了局部 Gross-Prasad 猜想的弱形式。
• 将重数的积分公式方法推广至酉群情形，受 Waldspurger 工作的启发。

提出的方法

• 将重数 $ m(\pi, \sigma) $ 定义为从 $ \pi $ 到 $ \sigma $ 的 $ H(F) \times U(F) $-等变线性映射空间的维数，其中映射被 $ U(F) $ 的一个非平凡特征 $ \xi $ 扭曲。
• 构造 $ H $ 中极大非分裂环面的共轭类的代表集 $ \mathcal{T} $，这些代表来自赫米特空间的正交分解。
• 利用 $ \pi $ 和 $ \sigma $ 在正则半单元素 $ t $ 附近的哈里什-钱德拉特征展开，定义 $ T(F) $ 上的函数 $ c_\pi(t) $ 和 $ c_\sigma(t) $，其中涉及幂零轨道积分的系数。
• 推导出一个积分公式，将 $ m(\pi, \sigma) $ 表示为对所有 $ T \in \mathcal{T} $ 的贡献之和，其中包含 $ c_\pi(t) $、$ c_\sigma(t) $ 和 Weyl 积分测度。
• 利用拟分裂与非拟分裂形式 $ G_i, G_a $ 和 $ H_i, H_a $ 之间的对偶性，证明对应环面的贡献仅在 $ t = 1 $ 时不抵消，从而总重数和为 $ c_{\Pi_i}(1)c_{\Sigma_i}(1) $。
• 应用 Rodier 判别准则，将 $ c_{\Pi_i}(1) $ 和 $ c_{\Sigma_i}(1) $ 识别为 Whittaker 模型的存在性，并得出总重数为 1，从而推出恰好存在一对 $ (\pi, \sigma) $ 满足 $ m(\pi, \sigma) = 1 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$ U(n) $ 的温良表示 $ \pi $ 限制到 $ U(n-1) $ 时，会包含一个重数为 1 的温良表示 $ \sigma $？
• RQ2 能否在酉群情形下建立类似于 Waldspurger 对标准正交群所给出的重数积分公式？
• RQ3 温良 $ L $-包的存在性及其预期性质是否意味着在拟分裂与非拟分裂形式的 $ L $-包并集中，恰好存在一对 $ (\pi, \sigma) $ 满足 $ m(\pi, \sigma) = 1 $？
• RQ4 在 $ H $ 中，环面的稳定共轭类的贡献如何影响积分公式中的总重数？

主要发现

• 重数 $ m(\pi, \sigma) $ 由一个关于集合 $ \mathcal{T} $ 的积分公式给出，其中涉及 $ \pi $ 和 $ \sigma $ 的哈里什-钱德拉特征展开的系数。
• 对于温良表示，拟分裂与非拟分裂形式的 $ L $-包上的总重数 $ m_{\Pi_i, \Sigma_i} + m_{\Pi_a, \Sigma_a} $ 等于 $ c_{\Pi_i}(1)c_{\Sigma_i}(1) $。
• 由于稳定共轭类的环面贡献（除平凡类外）相互抵消，总重数为 1。
• $ c_{\Pi_i}(1)c_{\Sigma_i}(1) = 1 $ 当且仅当 $ \Pi_i $ 和 $ \Sigma_i $ 均包含具有 Whittaker 模型的表示，这在假设的 $ L $-包性质下是保证成立的。
• 因此，存在恰好一对 $ (\pi, \sigma) \in (\Pi_i \times \Sigma_i) \cup (\Pi_a \times \Sigma_a) $ 使得 $ m(\pi, \sigma) = 1 $，从而确认了温良表示情形下局部 Gross-Prasad 猜想的弱形式。
• 该结果依赖于酉群温良 $ L $-包的存在性及其预期性质，这些是 Langlands 程序中的标准猜想。