[论文解读] La conjecture locale de Gross-Prasad pour les représentations tempérées des groupes spéciaux orthogonaux

Jean-Loup Waldspurger|ArXiv.org|Nov 24, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 34

一句话总结

本文证明了在特征为零的非阿基米德局部域上，特殊正交群的温迪特表示的局部格罗斯-普拉萨德猜想，通过内插端李变换和ε因子，建立了L-包与ε因子之间的精确对应关系。结果表明，一对温迪特表示的重数由ε因子的符号决定，且在标准与扭曲端李变换兼容的条件下成立。

ABSTRACT

We prove the local Gross-Prasad conjecture for tempered representations of special orthogonal groups. Roughly speaking, the conjecture says that, if sigma is an irreducible representation of SO(n) and rho is an irreducible representation of SO(n-1), rho appears as quotient of the restriction of sigma to SO(n-1) with a multiplicity m(sigma,rho) that can be computed in terms of epsilon-factors. Our proof uses results of a previous papers which computes m(sigma,rho) and the epsilon-factors by integral formulas.

研究动机与目标

• 在特征为零的非阿基米德局部域上，建立特殊正交群的温迪特表示的局部格罗斯-普拉萨德猜想。
• 验证一对温迪特表示 $ \rho, \rho' $ 的重数 $ m(\rho, \rho') $ 等于 $ \varepsilon $-因子 $ \varepsilon(s, \varphi, \varphi') $ 的符号。
• 证明 $ L $-包的参数化与标准及扭曲端李变换均兼容。
• 通过 $ \varepsilon $-因子与端李数据，将局部兰道斯 correspondence 推广至特殊正交群的温迪特表示。
• 建立表示重数与 $ \varepsilon $-因子及端李数据之间精确关系的公式。

提出的方法

• 利用 $ GL(n) $ 的局部兰道斯对应，通过 $ \varphi_{>} = \varphi \oplus \mathbf{1} $ 提升表示，构造 $ \widetilde{GL}(d', F) $ 上的 $ \tilde{\pi}(\varphi_{>}) $。
• 应用端李变换，通过自同态 $ \theta(g) = {}^t g^{-1} $ 将 $ G' $ 的表示与 $ GL(d') $ 的表示关联起来。
• 运用以 $ \Phi_{\text{temp}}(G') $ 索引的 $ L $-包理论，通过满足 $ \epsilon(z_\varphi) = \mu(G') $ 的特征 $ \epsilon \in \mathcal{E}^{G'}(\varphi) $ 建立双射。
• 推导关键恒等式：$ -m(\varphi,s;\varphi',s') = \boldsymbol{\epsilon}(s)\boldsymbol{\epsilon}'(s')(E(\varphi,\varphi') - 1)/2 $，将重数与 $ \varepsilon $-因子及端李数据关联。
• 利用 $ \gamma $-因子的函数方程与转移因子理论，比较 $ G $ 与 $ G' $ 之间的 $ \gamma $-因子。
• 应用 [AGRS] 与 [GGP] 中的重数一一定理，确保 $ m(\sigma, \sigma') \leq 1 $，并通过 $ \varepsilon $-因子符号证明等式成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 温迪特表示 $ \sigma $ 在 $ G(F) $ 与 $ \sigma' $ 在 $ G'(F) $ 的重数 $ m(\sigma, \sigma') $ 是否等于 $ \varepsilon $-因子 $ \varepsilon(s, \varphi, \varphi') $ 的符号？
• RQ2 $ G' $ 的 $ L $-包参数化是否与标准及扭曲端李变换均兼容？
• RQ3 局部格罗斯-普拉萨德猜想能否推广至非阿基米德局部域上特殊正交群的温迪特表示？
• RQ4 在端李变换背景下，$ \varepsilon $-因子与表示重数之间的确切关系为何？
• RQ5 交换子 $ S_\varphi $ 的中心特征 $ z_\varphi $ 如何影响 $ L $-包的参数化？

主要发现

• 重数 $ m(\sigma, \sigma') $ 等于 $ \boldsymbol{\epsilon}(s)\boldsymbol{\epsilon}'(s') $，从而确认了温迪特表示的局部格罗斯-普拉萨德猜想。
• 公式 $ -m(\varphi,s;\varphi',s') = \boldsymbol{\epsilon}(s)\boldsymbol{\epsilon}'(s')(E(\varphi,\varphi') - 1)/2 $ 成立，将重数与 $ \varepsilon $-因子及端李数据关联。
• 该证明建立了 $ L $-包参数化与标准及扭曲端李变换的兼容性，验证了猜想框架。
• 结果确认 $ m(\sigma, \sigma') = 1 $ 当且仅当 $ \varepsilon $-因子符号与端李数据匹配，否则 $ m(\sigma, \sigma') = 0 $。
• 通过 $ \varphi_{>} = \varphi \oplus \mathbf{1} $ 构造 $ \tilde{\pi}(\varphi_{>}) $，使得 $ \gamma $-因子可被传递至 $ G' $，这对证明至关重要。
• 本文证明了在给定条件下 $ \gamma^{G'}(\varphi', 0) = -1 $，这是重数公式中最终恒等式的关键。