[论文解读] Laderman matrix multiplication algorithm can be constructed using Strassen algorithm and related tensor's isotropies

Alexandre Sedoglavic|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文表明，Laderman的3×3矩阵乘法算法（秩为23）可通过将群对称性（同构性）应用于Strassen的2×2算法构造而成，将经典的3×3矩阵乘法张量分解为在对称群作用下由最优2×2算法生成的轨道，外加一个修正项。关键贡献在于一种几何构造方法，揭示了Laderman算法源于保持3×3矩阵乘法结构的群作用，从而揭示了已知算法之间基于对称性的深层联系。

ABSTRACT

In 1969, V. Strassen improves the classical~2x2 matrix multiplication algorithm. The current upper bound for 3x3 matrix multiplication was reached by J.B. Laderman in 1976. This note presents a geometric relationship between Strassen and Laderman algorithms. By doing so, we retrieve a geometric formulation of results very similar to those presented by O. Sykora in 1977.

研究动机与目标

• 揭示Strassen的2×2矩阵乘法算法与Laderman的3×3算法之间的几何关系。
• 研究3×3矩阵乘法张量的对称性（同构性）是否可用于重构已知算法。
• 证明Laderman的算法可从Strassen算法在保持张量结构的群作用下的轨道推导得出。
• 表明Laderman算法中的修正项也源于群轨道，从而确认了一个统一的几何框架。

提出的方法

• 本文使用简化的张量框架，将矩阵乘法表示为三线性形式。
• 定义了一个群作用（记为K），作用于秩一张量，以模拟矩阵乘法张量的对称性。
• 将经典的3×3矩阵乘法张量分解为：(1) 在K作用下由2×2 Strassen算法生成的轨道，(2) 由投影˜M¹¹¹生成的轨道，(3) 修正项R。
• 群作用K在某些张量分量上是传递的，从而允许从低秩分量构造出完整的3×3算法。
• 通过将2×2分量的秩（19）与修正项的秩（4）相加，证明所构造算法的张量秩为23。
• 该构造依赖于显式的张量收缩与对称轨道，使用计算机代数系统（Maple）进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过几何对称性，从Strassen的2×2算法推导出Laderman的3×3矩阵乘法算法？
• RQ2 张量同构性在关联不同矩阵乘法算法中起什么作用？
• RQ3 Laderman算法中的修正项如何与对称群作用下的群轨道相关联？
• RQ4 已知矩阵乘法算法的结构能否被理解为在对称群作用下，由更小的最优算法生成的轨道？
• RQ5 是否存在一个统一的几何框架，能够通过2×2构建块解释3×3矩阵乘法算法的构造？

主要发现

• Laderman的3×3矩阵乘法算法（秩为23）可被构造为在对称群K作用下，Strassen的2×2算法的轨道之和，其张量秩为19。
• 该算法中的修正项R的秩为4，其来源于特定秩一张量（如e³₃⊗e³₂⊗e²₃和e³₃⊗e³₃⊗e³₃）的群轨道。
• 完整算法表达为M = K⋄(e¹₁⊗e¹₁⊗e¹₁) + K⋄(˜M¹¹¹) - R，其中第一项对应2×2最优算法，第二项对应全张量的投影。
• 所得张量与Laderman原始算法具有相同的类型（秩与矩阵秩轮廓），确认其为同一算法的变体。
• 该构造表明，3×3矩阵乘法张量的对称性（同构性）在连接2×2与3×3算法中起着关键作用。
• 通过Maple中的符号计算验证的几何框架表明，群作用可系统地从更小的算法生成已知的矩阵乘法算法。