[论文解读] Lagrangian Quantum Homology for Lagrangian cobordism

Berit Singer|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过为边界子集 $S\subset\partial V$ 的 cobordism $V$ 定义相对量子同调 $QH_*(V,S)$，将拉格朗日子同调推广至单调拉格朗日子 cobordism。利用 pearly 轨迹与伪全纯盘，建立了 $QH_*(V,S)$ 上的 $ atural$-分次环结构，证明了其在数据通用选择下的不变性，并将 cobordism 的量子同调与端点及周围流形的量子同调相关联，应用于拉格朗日球面的判别式等不变量。

ABSTRACT

We extend the definition of Lagrangian quantum homology to monotone Lagrangian cobordism and establish its general algebraic properties. In particular we develop a relative version of Lagrangian quantum homology associated to a cobordism relative to a part of its boundary and study relations of this invariant to the ambient quantum homology.

研究动机与目标

• 为单调拉格朗日子 cobordism $V$ 相对于其边界子集 $S\subset\partial V$ 定义并研究相对量子同调 $QH_*(V,S)$。
• 在 $QH_*(V,S)$ 上建立代数结构——特别是 $ atural$-分次环积，推广标准拉格朗日子同调中已知的结构。
• 通过保持环结构的典范映射，将 cobordism 的量子同调与边界分量及周围辛流形的量子同调相关联。
• 将该理论应用于计算诸如拉格朗日球面的判别式等不变量，证明其在 cobordism 下的不变性。

提出的方法

• 在 $\tilde{M} = \mathbb{R}^2 \times M$ 上使用 Morse 函数 $\tilde{f}$、度量 $\tilde{\rho}$ 和 $\omega$-相容的几乎复结构 $\tilde{J}$ 构造链复形 $C(V,S;\tilde{f},\tilde{\rho},\tilde{J})$，其梯度流从 $S$ 离开。
• 将相对量子同调 $QH_*(V,S)$ 定义为该链复形的同调，证明其在通用数据下对 $\tilde{f}$、$\tilde{\rho}$、$\tilde{J}$ 的选择无关。
• 引入 $\Lambda$-双线性积 $*\colon QH_i(V,S) \otimes QH_j(V,S) \to QH_{i+j-(n+1)}(V,S)$，使 $QH_*(V,S)$ 成为（可能无单位元的）环。
• 利用 pearly 轨迹的模空间——即 Morse 轨迹与伪全纯盘的复合——定义微分与积，系数取自 Novikov 环 $\Lambda = \mathcal{R}[t,t^{-1}]$。
• 建立 $QH_*(V,S)$、$QH_*(V)$、$QH_*(\partial V)$ 与周围量子同调 $QH_*(\tilde{M}_T)$ 之间的典范映射，分析其在包含映射与边界映射下的行为。
• 证明单位 $e_{(V,\partial V)}$ 满足 $[(V,\partial V)] = ([L_1]_{QH_*(V)} + [L_2]_{QH_*(V)}) \times I = -[L_3]_{QH_*(V)} \times I$，将 cobordism 的量子类与端点联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将拉格朗日子同调推广至相对于边界子集 $S$ 的单调拉格朗日子 cobordism？
• RQ2 在拉格朗日子 cobordism 的相对量子同调 $QH_*(V,S)$ 中，会涌现出何种代数结构——尤其是环结构？
• RQ3 cobordism 的量子同调与其端点及周围辛流形的量子同调之间有何关系？
• RQ4 cobordism 的量子同调能否检测诸如拉格朗日球面的判别式等不变量，且该不变量是否在 cobordism 下保持不变？

主要发现

• 相对量子同调 $QH_*(V,S)$ 定义良好，且在通用数据下对 Morse 函数 $\tilde{f}$、度量 $\tilde{\rho}$ 与几乎复结构 $\tilde{J}$ 的选择无关。
• 相对量子同调 $QH_*(V,S)$ 携带 $\Lambda$-双线性积，使其成为（可能无单位元的）环，当 $S = \partial V$ 时存在单位元，且积与 $n+1$ 的分次移位相容。
• 映射 $i_*\colon QH_*(\partial V) \to QH_*(V)$ 将 $e_{L_1}, e_{L_2}, e_{L_3}$ 分别映射为 $[L_1]_{QH_*(V)}, [L_2]_{QH_*(V)}, -[L_1]_{QH_*(V)} - [L_2]_{QH_*(V)}$，表明包含映射的非平凡性。
• 量子同调环的单位 $e_{(V,\partial V)}$ 满足 $[(V,\partial V)] = ([L_1]_{QH_*(V)} + [L_2]_{QH_*(V)}) \times I = -[L_3]_{QH_*(V)} \times I$，将 cobordism 类与端点联系起来。
• 在 $QH_*(V,\partial V)$ 上的量子积被显式计算：$x_1*x_1 = ([L_1]*[L_1]\times R)*e$，$x_2*x_2 = ([L_2]*[L_2]\times R)*e$，$x_1*x_2 = ([L_1]*[L_2]\times R)*e$，其中 $[L_i]*[L_j]$ 为周围空间中的量子积。
• 包含映射 $i\colon QH_*(V,\partial V) \to QH_*(\tilde{M}_T, \partial\tilde{M}_T)$ 将 $e_{(V,\partial V)}$ 映射为 $([L_1]+[L_2])\times I$，并将基元素分别映射为 $[L_1]*([L_1]+[L_2])\times I$ 与 $[L_2]*([L_1]+[L_2])\times I$。