[论文解读] Lagrangian Cobordism I

Paul Biran, Octav Cornea|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文在辛拓扑中引入了单调拉格朗日子流形 cobordism 的范畴框架，表明弗洛尔同调在 cobordism 下保持不变，并从拉格朗日子流形 cobordism 范畴构造了一个到三角化福比-category 的函子。关键贡献在于建立了 cobordism 映射与弗洛尔理论不变量之间的函子关系，从而在几何 cobordism 与辛拓扑中的代数结构之间架起桥梁。

ABSTRACT

This paper discusses the cobordism of Lagrangian submanifolds (in the monotone setting) and structures it as a category that is related in a functorial way to an appropriate (derived) Fukaya category. Are also discussed obstructions to cobordism based on properties of Lagrangian quantum homology, relations to Lagrangian surgery, as well as examples of non-isotopic but cobordant Lagrangians. This is a revision of our earlier preprint from September 2011.

研究动机与目标

• 为辛流形中的单调拉格朗日子流形 cobordism 发展一个范畴结构。
• 证明弗洛尔同调及相关不变量在单调拉格朗日子流形 cobordism 下保持不变。
• 从拉格朗日子流形 cobordism 范畴构造一个到三角化福比-category 的函子。
• 通过量子同调与弗洛尔同调不变量，建立 cobordism 存在性的代数障碍。
• 提供一个理解 cobordism 作为福比-category 结构函子性推广的框架。

提出的方法

• 通过统一的单调性与 Maslov 指标约束（$N_L \geq 2$）定义单调拉格朗日子流形。
• 将拉格朗日子流形 cobordism 定义为嵌入 $\mathbb{R}^2 \times M$ 中的光滑紧致 cobordism，其柱状端与拉格朗日族匹配。
• 通过弗洛尔同调复形的锥分解，从导出福比-category $D\mathcal{F}uk^d(M)$ 的全子范畴构造三角化范畴 $T^S\mathcal{C}$。
• 通过弗洛尔复形中的链映射序列与锥构造，定义 cobordism 范畴 $\mathcal{Cob}^d_0(M)$ 中的态射。
• 使用 Yoneda 嵌入与链复形中的锥构造，构建福比-category 的三角化完成。
• 定义从 $\mathcal{Cob}^d_0(M)$ 到 $T^S\mathcal{F}uk^d(M)$ 的张量函子 $\widetilde{\mathcal{F}}$，其态射表现为弗洛尔复形之间的链同伦等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将拉格朗日子流形 cobordism 结构化为具有函子性质的范畴？
• RQ2 在单调拉格朗日子流形 cobordism 下，哪些不变量保持不变？
• RQ3 能否在拉格朗日子流形 cobordism 范畴与三角化福比-category 之间建立函子关系？
• RQ4 在 cobordism 背景下，量子同调与弗洛尔同调不变量会产生哪些代数障碍？
• RQ5 选择基环 $K = \mathbb{Z}_2$ 如何影响构造的函子性与独立性？

主要发现

• 单调拉格朗日子流形 cobordism 保持弗洛尔同调及相关不变量，如定理 2.2.1 所示。
• 通过弗洛尔复形的锥分解，确立了从 cobordism 范畴到三角化福比-category 的函子 $\widetilde{\mathcal{F}}$ 的存在性。
• 该构造依赖于使用 Yoneda 嵌入与链复形中锥运算对福比-category 进行三角化完成。
• 关键结果为：cobordism 范畴中的态射诱导出链复形 $Z_i^N$ 的正合序列，满足 $Z_{i+1}^N = \textnormal{cone}(CF(N,L_i) \xrightarrow{u_i} Z_i^N)$，从而导出链同伦等价 $\phi_V^N: CF(N,L) \to Z_{k+1}^N$。
• 使用 $\mathbb{Z}_2$ 作为基环可确保映射 $u_i$ 与 $\phi_V^N$ 是典范的且不依赖于额外选择，而此性质在 $\mathcal{A}$ 上不成立。
• 定理 2.2.2 与 2.2.3 揭示了通过量子同调与弗洛尔同调不变量对 cobordism 态射存在性的代数障碍。