[论文解读] Lamplighter Random Walks and Entropy-Sensitivity of Languages

Ecaterina Sava‐Huss|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 37被引用 3

一句话总结

本论文研究了图上灯工随机游走及其与形式语言熵敏感性的关系。研究证明，具有无限多端点或双曲结构的图上的灯工随机游走的泊松边界是非平凡的，并利用带有禁止转移的马尔可夫链分析增长速率与谱半径，证明了在禁止转移约束下，由群论中的施莱尔曼图定义的语言（如词问题）具有熵敏感性。

ABSTRACT

The main purpose of this thesis is to study the interplay between geometric properties of infinite graphs and analytic and probabilistic objects such as transition operators, harmonic functions and random walks on these graphs. For a transient random walk, there are several problems one is interested in: for instance to study its convergence, to describe the bounded harmonic functions for the random walk, to describe its Poisson boundary, or to study the parameter of exponential decay of the transition probabilities of the random walk. In the first part of the thesis we deal with similar problems in the context of random walks on the so-called lamplighter graphs, which are wreath products of graphs. The convergence and the Poisson boundary of lamplighter random walks is studied for different underlying graphs, and the used methods are mostly of a geometrical nature. In the second part of the thesis we consider Markov chains on directed, labelled graphs. With such graphs we associate in a natural way a class of infinite languages (sets of labels of paths in the graph) and we study the growth sensitivity (or entropy sensitivity) of these languages using Markov chains.

研究动机与目标

• 分析无限图上灯工随机游走的渐近行为，特别是其收敛到边界及泊松边界结构。
• 研究图的几何性质（如端点数、双曲性）与灯工游走的概率特征之间的相互作用。
• 利用带有禁止转移的马尔可夫链研究标记图上形式语言的增长敏感性。
• 证明在有限禁止集合下，以施莱尔曼图为表示的群论词问题语言具有熵敏感性。
• 建立标记图上无禁止转移与有禁止转移马尔可夫链之间的谱半径与熵的比较关系。

提出的方法

• 使用半直积构造（Z₂ ≀ G）来建模灯工图，其中顶点表示灯的状态配置与行进者的位置。
• 应用半空间法识别具有无限多端点的图上灯工随机游走的泊松边界。
• 利用调和函数与转移算子刻画收敛到边界及泊松边界结构。
• 在标记有向图上定义马尔可夫链，转移概率与出度的倒数成正比。
• 通过杜布的h-变换引入“h-过程”，以建模具有禁止转移集合F的随机游走。
• 使用谱半径比较：ρ(PF) < ρ(P)，从而导致相关语言中熵的严格减少。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有无限多端点的图上，灯工随机游走的泊松边界是什么？
• RQ2 图的双曲结构如何影响泊松边界及灯工随机游走的收敛性？
• RQ3 在某些转移被禁止时，标记图上路径语言在何种条件下具有熵敏感性？
• RQ4 具有禁止转移的马尔可夫链的谱半径与原始链之间有何关系？
• RQ5 当有限组词被禁止时，群论词问题的增长率（熵）如何变化？

主要发现

• 在具有无限多端点的图上，灯工随机游走的泊松边界是非平凡的，且可通过半空间法识别。
• 对于双曲图上的灯工游走，当图具有无限双曲边界时，即使仅有一个端点，泊松边界也是非平凡的。
• 具有禁止转移的马尔可夫链的谱半径满足 sup_{x,y} ρ_{x,y}(PF) < ρ(P)，意味着熵的严格减少。
• 语言 L_F^{x,y}（避开禁止因子的路径）的熵严格小于无限制语言 L^{x,y} 的熵，从而证明了熵敏感性。
• 对于有限生成群的施莱尔曼图，任何非空有限禁止集合下，词问题语言均具有熵敏感性。
• 在均匀连通的标记图上，语言 L^{x,y} 的熵为 h(L^{x,y}) = log(ρ(P) · |Σ|)，其中 ρ(P) 为谱半径，|Σ| 为字母表大小。