[论文解读] Langlands-Rapoport Conjecture Over Function Fields

Esmail Arasteh Rad, Urs Hartl|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文在函数域上对全局 ${\mathfrak{G}}$-希图卡模堆栈形式化并证明了兰道斯-拉波波特猜想，通过 $\nabla{\mathscr{H}}$-数据建立了其模 $p$ 点的群论描述。关键结果将有限域上 ${\mathfrak{G}}$-希图卡的集合与同构类的同态的不相交并集建立对应，且与赫克与伽罗瓦作用相容。

ABSTRACT

In this article we formulate and prove the analogue of the Langlands-Rapoport conjecture for the moduli stacks of global $G$-shtukas. Here $G$ is a parahoric Bruhat-Tits group scheme over a smooth projective curve $C$ over a finite field $\mathbb{F}_q$.

研究动机与目标

• 将兰道斯-拉波波特猜想从希米达簇推广至函数域上全局 ${\mathfrak{G}}$-希图卡的模堆栈。
• 为这些模堆栈的模 $p$ 点提供一个群论描述，类似于希米达簇原始猜想中的情形。
• 建立有限域上 ${\mathfrak{G}}$-希图卡的集合与同态同构类的不相交并集之间的典范同构。
• 验证该识别与阿代尔群 ${\mathfrak{G}}({\mathbb{A}}^{{\underline{\nu}}})$ 及伽罗瓦群作用的相容性。
• 为通过迹公式与局部模型计算这些模堆栈的哈塞-韦伊 zeta 函数奠定基础工具。

提出的方法

• 将 $\nabla{\mathscr{H}}$-数据形式化为对 $({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}})$，其中 ${\mathfrak{G}}$ 是曲线 $C$ 上的帕拉霍里布劳特-蒂茨群概形，$\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}$ 是扭曲仿射旗流形形式完备化上的有界性条件的元组。
• 构造一个形式代数堆栈塔 $\nabla_{n}^{H,\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}}{\mathscr{H}}^{1}(C,{\mathfrak{G}})^{{\underline{\nu}}}$，参数化具有固定特征 ${\underline{\nu}}$、被 $\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}$ 有界且带有 $H$-水平结构的 ${\mathfrak{G}}$-希图卡。
• 将范畴 ${{\cal{L}}^{*}}({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}})$ 定义为同构类的同态 $\varphi: \mathfrak{P} \to {\mathfrak{G}} \times_C \operatorname{Spec}(\breve{Q} \otimes_Q \breve{Q})$ 的不相交并集，以编码特殊点。
• 建立同构 ${{\cal{L}}^{*}}({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}}) \xrightarrow{\sim} \nabla_{n}^{*,\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}}{\mathscr{H}}^{1}(C,{\mathfrak{G}})^{{\underline{\nu}}}({\overline{{\mathbb{F}}}})$，将 ${\mathfrak{G}}$-希图卡的模空间与 $\nabla{\mathscr{H}}$-数据的范畴对应起来。
• 利用仿射旗流形中局部模型与施伯特簇的理论，将上同调上半单弗罗贝尼乌斯迹与赫克代数中心中的函数联系起来。
• 借助先前关于局部理论与 ${\mathfrak{G}}$-希图卡的动机解释的研究成果，确保构造与赫克与伽罗瓦对称性相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 兰道斯-拉波波特猜想如何从希米达簇推广至函数域上 ${\mathfrak{G}}$-希图卡的模堆栈？
• RQ2 在函数域情形下，${\mathfrak{G}}$-希图卡模堆栈的模 $p$ 点的精确群论描述是什么？
• RQ3 ${\mathfrak{G}}({\mathbb{A}}^{{\underline{\nu}}})$ 在模空间上的作用如何与 $\nabla{\mathscr{H}}$-数据的结构相关联？
• RQ4 能否通过此框架将 ${\mathfrak{G}}$-希图卡模堆栈的哈塞-韦伊 zeta 函数表达为 $L$-函数的乘积？
• RQ5 特殊与可容许的 ${\mathfrak{G}}$-希图卡在实现自守与伽罗瓦数据之间对应关系中起什么作用？

主要发现

• 模堆栈 $\nabla_{n}^{*,\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}}{\mathscr{H}}^{1}(C,{\mathfrak{G}})^{{\underline{\nu}}}$ 的模 $p$ 点通过范畴 ${{\cal{L}}^{*}}({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}})$ 以典范方式参数化，该范畴分类了同构类的同态 $\varphi: \mathfrak{P} \to {\mathfrak{G}} \times_C \operatorname{Spec}(\breve{Q} \otimes_Q \breve{Q})$。
• 同构 ${{\cal{L}}^{*}}({\mathfrak{G}}, \hat{Z}_{{\underline{\nu}}}) \xrightarrow{\sim} \nabla_{n}^{*,\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}}{\mathscr{H}}^{1}(C,{\mathfrak{G}})^{{\underline{\nu}}}({\overline{{\mathbb{F}}}})$ 与 ${\mathfrak{G}}({\mathbb{A}}^{{\underline{\nu}}}) \times Z(Q) \times {\underline{\Phi}}$ 的作用相容，确保伽罗瓦与赫克对称性。
• 每个 ${\mathfrak{G}}$-希图卡的拟同构类中均包含一个特殊代表，且 theta 映射 $\Theta_{{\underline{\mathcal{G}}}_0}$ 的像决定了拟同构类。
• 映射 $\Theta_{{\underline{\mathcal{G}}}_0}$ 与 $\Theta_{{\underline{\mathcal{G}}}_0'}$ 的像之间存在非空交集，当且仅当两个 ${\mathfrak{G}}$-希图卡属于同一拟同构类。
• 当 $\hat{Z}_{{\underline{\nu}}}$ 通过施伯特簇 $\mathcal{S}(w_i)$ 定义时，可容许性条件可获得群论刻画。
• 该构造为通过迹公式与科特维茨的测试函数猜想计算模堆栈的哈塞-韦伊 zeta 函数提供了关键要素。