[论文解读] Large Deviation Principle for $S$-unimodal maps with flat critical point

Yong Moo Chung, Hiroki Takahasi|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用 4

一句话总结

该论文为具有非递归平坦临界点的拓扑精确负施瓦茨导数 $S$-单峰映射在对数或多项式临界阶下建立了大偏差原理（LDP）。证明了速率函数由 $\mathscr{I}(\mu) = \chi(\mu) - h(\mu)$ 给出（对不变测度），并完全刻画了速率函数的零点集，表明在临界参数 $\alpha = 1$ 处发生定性转变：最小化器集合从 $\delta_0$ 与绝对连续不变测度（acip）的凸组合转变为仅 $\delta_0$ 本身。

ABSTRACT

We study a topologically exact, negative Schwarzian unimodal map whose critical point is non-recurrent and flat. Assuming the critical order is either logarithmic or polynomial, we establish the Large Deviation Principle and give a partial description of the zeros of the corresponding rate functions. We apply our main results to a certain parametrized family of unimodal maps in the same topological conjugacy class, and give a complete description of the zeros of the rate functions. We observe a qualitative change at a transition parameter, and show that the sets of zeros depend continuously on the parameter even at the transition.

研究动机与目标

• 为具有非递归平坦临界点的 $S$-单峰映射建立大偏差原理（LDP）
• 描述与LDP相关的速率函数零点集
• 分析速率函数零点集在参数变化下的连续性，特别是在相变点处
• 将结果应用于参数化的单峰映射族（如Manneville-Pomeau映射），以完全刻画速率函数的零点集

提出的方法

• 作者基于首次返回映射在合适区间 $I$ 上构造诱导方案，以分析典型轨道的统计行为。
• 他们为返回时间分布建立了类似指定性的性质，证明了 $|\{R=n+1\}| / |\{R>n\}| \geq C n^{-2(1+\alpha)/\alpha}$ 对某个 $C>0$ 成立，从而控制返回时间的衰减速率。
• LDP上界证明依赖于该衰减估计，取代了早期对非平坦性的假设。
• 通过累积生成函数的Legendre变换推导速率函数，得到 $\mathscr{I}(\mu) = \chi(\mu) - h(\mu)$ 对 $f$-不变测度 $\mu$ 成立，否则为 $\infty$。
• 通过 $\log|Df_\alpha|$ 的一致收敛性和测度的弱收敛性分析acips的弱收敛性，证明当 $\alpha \nearrow 1$ 时有 $\mu_{\rm ac,\alpha} \to \delta_0$。
• 利用Ledrappier关于中性不动点的Lyapunov指数与熵的结果，确定了速率函数零点集的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有非递归平坦临界点的 $S$-单峰映射，大偏差原理是否成立？
• RQ2 此类映射的速率函数的精确形式是什么？它在何处为零？
• RQ3 当系统参数 $\alpha$ 变化时，特别是经过相变点时，速率函数的最小化器集合（即零点集）如何变化？
• RQ4 速率函数的零点集是否关于参数 $\alpha$ 连续，即使在相变点处？
• RQ5 当 $\alpha \nearrow 1$ 时，acip $\mu_{\rm ac,\alpha}$ 的渐近行为如何变化？

主要发现

• 在对数或多项式临界阶下，具有非递归平坦临界点的 $S$-单峰映射满足大偏差原理（LDP）。
• 速率函数由 $\mathscr{I}(f_\alpha; \mu) = \chi(\mu) - h(\mu)$ 给出，对 $f_\alpha$-不变测度 $\mu$ 成立，否则为 $\infty$。
• 当 $0 < \alpha < 1$ 时，速率函数仅在形如 $p\delta_0 + (1-p)\mu_{\rm ac,\alpha}$ 的测度上为零，其中 $p \in [0,1]$。
• 当 $\alpha \geq 1$ 时，速率函数仅在 $\delta_0$ 上为零，表明典型极限分布结构发生定性变化。
• 尽管结构发生变化，速率函数的零点集关于 $\alpha$ 连续，包括在相变点 $\alpha = 1$ 处。
• 当 $\alpha \nearrow 1$ 时，acip $\mu_{\rm ac,\alpha}$ 弱收敛于 $\delta_0$，证实了奇异极限测度的出现。