[论文解读] Large deviations for interacting Bessel-like processes and applications to systemic risk

Tomoyuki Ichiba, Mykhaylo Shkolnikov|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文建立了具有非利普希茨和退化扩散系数的相互作用Bessel型扩散过程的大偏差原理，通过非局部麦科恩-弗拉索夫SDE证明了流体动力学极限和混沌传播。关键贡献是在明确的系数条件下首次获得此类结果，并将其应用于银行间借贷系统中的系统性风险建模。

ABSTRACT

We establish a process level large deviation principle for systems of interacting Bessel-like diffusion processes. By establishing weak uniqueness for the limiting non-local SDE of McKean-Vlasov type, we conclude that the latter describes the process level hydrodynamic limit of such systems and obtain a propagation of chaos result. This is the first instance of results of this type in the context of interacting diffusion processes under explicit assumptions on the coefficients, where the diffusion coefficients are allowed to be both non-Lipschitz and degenerate. In the second part of the paper, we explain how systems of this type naturally arise in the study of stability of the interbank lending system and describe some financial implications of our results.

研究动机与目标

• 建立具有退化、非利普希茨扩散系数的相互作用扩散过程的路径级大偏差原理。
• 证明作为有限系统极限的非局部麦科恩-弗拉索夫SDE的弱唯一性及流体动力学极限。
• 在漂移和扩散系数的明确假设下，证明平均场极限下的混沌传播。
• 利用Bessel型动力学对银行间借贷系统中的系统性风险进行建模。
• 分析极限SDE的长期行为和平稳分布，包括伽马型平稳分布。

提出的方法

• 使用尺度为 $ n $ 的路径级大偏差原理，其中速率函数通过控制过程和布朗运动上的变分公式定义。
• 应用极限非局部SDE的弱唯一性，确保流体动力学极限定义良好。
• 采用伊藤公式和矩估计推导过程一阶和二阶矩的常微分方程。
• 推导过程分布拉普拉斯变换的一阶线性PDE，以分析分布的时间演化。
• 利用福克-普朗克方程和拉普拉斯变换技术，在特定耦合条件下将平稳分布表征为伽马分布。
• 通过由相互作用函数 $ \varphi $ 驱动的常微分方程分析方差动态，表明在弱相互作用下初始方差增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，相互作用Bessel型扩散系统满足大偏差原理？
• RQ2 此类系统的流体动力学极限行为如何，其极限非局部SDE的性质是什么？
• RQ3 在具有退化和非利普希茨扩散系数的系统中，确保弱唯一性和混沌传播的条件是什么？
• RQ4 相互作用函数 $ \varphi $ 和初始条件如何影响长期行为和平稳分布？
• RQ5 该框架对建模银行间借贷系统中的系统性风险有何金融含义？

主要发现

• 经验测度序列 $ \rho^n $ 在空间 $ \mathcal{X} $ 上满足大偏差原理，速率函数为 $ J(\gamma) = \frac{1}{2} \inf_{(u,W)} \mathbb{E}\left[\int_0^T u(t)^2 dt\right] $，其中下确界取遍能使 $ \gamma $ 成为受控SDE的分布的控制。
• 流体动力学极限由非局部SDE $ dX(t) = b(X(t), \mathcal{L}(X(t))) dt + \sigma(X(t)) dW(t) $ 的唯一强解刻画，其中 $ \sigma(x) = \sqrt{x} g(x) $，$ g $ 连续、有界且严格为正。
• 混沌传播成立：任意固定数量粒子的联合分布收敛于平均场SDE独立解的乘积。
• 过程的方差 $ V(t) $ 在相互作用较弱时初始增加，由常微分方程 $ \frac{dV}{dt} = 4m_\lambda - 2\varphi(\mathcal{L}(X(t))) V(t) $ 控制，初始条件为 $ V(0) = 0 $。
• 在常返条件下，平稳分布为形状参数 $ \mathfrak{a} = 2/\varphi^* $、率参数 $ \mathfrak{b} = \varphi^* m_\lambda / 2 $ 的伽马分布，其中 $ \varphi^* = \varphi(\alpha) $。
• 平稳分布满足拉普拉斯变换方程 $ (\varphi^* + 2x) \frac{d\mathfrak{u}}{dx} + \varphi^* m_\lambda \mathfrak{u} = 0 $，解得 $ \mathfrak{u}(x) = (1 + (2/\varphi^*)x)^{-\varphi^* m_\lambda / 2} $。