[论文解读] Large Deviations for the Single Server Queue and the Reneging Paradox

Rami Atar, Amarjit Budhiraja+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2019

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文为带有遗弃行为的M/M/1+M队列建立了样本路径大偏差原理，证明了异常高或异常低的遗弃次数的衰减速率不依赖于单个顾客的遗弃率θ。关键结果揭示了‘遗弃悖论’的大偏差类比：尽管θ在模型动力学中起作用，但在最优测度下与遗弃相关的LDP代价却消失。

ABSTRACT

For the M/M/1+M model at the law-of-large-numbers scale, the long run reneging count per unit time does not depend on the individual (i.e., per customer) reneging rate. This paradoxical statement has a simple proof. Less obvious is a large deviations analogue of this fact, stated as follows: The decay rate of the probability that the long run reneging count per unit time is atypically large or atypically small does not depend on the individual reneging rate. In this paper, the sample path large deviations principle for the model is proved and the rate function is computed. Next, large time asymptotics for the reneging rate are studied for the case when the arrival rate exceeds the service rate. The key ingredient is a calculus of variations analysis of the variational problem associated with atypical reneging. A characterization of the aforementioned decay rate, given explicitly in terms of the arrival and service rate parameters of the model, is provided yielding a precise mathematical description of this paradoxical behavior.

研究动机与目标

• 在流体标度下，为带有遗弃行为的M/M/1+M队列建立样本路径大偏差原理（LDP）。
• 分析当到达率超过服务率时，长期遗弃次数出现异常大或异常小时概率的衰减速率。
• 通过证明衰减速率与单个遗弃率θ无关，从大偏差尺度上解决‘遗弃悖论’。
• 仅用到达率和服务率显式表征衰减速率，利用变分法和欧拉-拉格朗日方程。
• 证明在最优测度变换下，归一化的遗弃率保持其大数定律下的取值，意味着遗弃的LDP代价为零。

提出的方法

• 使用泊松随机测度（PRM）建模系统，以描述到达、服务完成和遗弃事件。
• 应用PRM泛函期望的一般变分表示，推导拉普拉斯原理的上下界。
• 将速率函数 I_T(ξ,ζ) 定义为满足涉及到达、服务和遗弃强度的态动态方程的控制过程 φ 的下确界。
• 应用压缩原理，推导归一化队列长度和归一化遗弃次数过程 Y^n(t) 的LDP及其归一化极限。
• 对相关变分问题应用变分法，推导速率函数最小化器的欧拉-拉格朗日方程。
• 将分析限制在队列长度 ξ(t) ≥ 1 的轨迹上，并通过简化模型的流体轨迹变换构造最小化器。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大偏差尺度下，M/M/1+M队列中异常遗弃次数的衰减速率是否依赖于单个顾客的遗弃率θ？
• RQ2 能否为归一化队列长度与归一化遗弃次数的联合过程严格建立样本路径大偏差原理？
• RQ3 当 λ > μ 时，涉及异常高或异常低遗弃次数的罕见事件的衰减速率的显式形式是什么？
• RQ4 尽管θ是模型中的参数，为何在最优测度下与遗弃相关的LDP代价会消失？
• RQ5 在变分问题中，最优控制轨迹的行为如何？它揭示了异常遗弃行为的何种结构特征？

主要发现

• 异常遗弃次数的衰减速率与单个遗弃率θ无关，证实了‘遗弃悖论’的大偏差类比。
• 衰减速率 C(γ) 仅用 λ 和 μ 显式表示，且对典型遗弃率 γ₀ = (λ − μ)+ 的大偏差和小偏差情形完全相同。
• 在异常遗弃的最优测度变换下，归一化遗弃率保持其大数定律下的取值，意味着遗弃的LDP代价为零。
• 速率函数的最小化器对应于队列长度始终为1或以上的轨迹，最优控制通过简化流体模型的变换导出。
• 仅当状态轨迹 (ξ,ζ) 满足适当的强度控制下的流体动力学方程时，速率函数 I_T(ξ,ζ) 才为有限值，否则为无穷大。
• 大偏差原理在连续有右极限路径空间中对对 (X^n, Y^n) 成立，速率函数 I_T 通过满足状态动态方程的控制过程的下确界定义。