[论文解读] Large deviations of convex hulls of planar random walks

Arseniy Akopyan, Vladislav Vysotsky|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2016

Point processes and geometric inequalities参考文献 25被引用 4

一句话总结

该论文为具有有限矩生成函数的平面随机游走的凸包周长和面积建立了大偏差原理。推导了周长和面积的显式速率函数，表明对于旋转对称或高斯增量，最优轨迹分别呈线段（周长）或半圆（面积）形状；而对于带漂移的高斯随机游走，最优形状取决于协方差结构，为椭圆弧或抛物线弧。

ABSTRACT

We prove large deviations principles for the perimeter and the area of the convex hull of a planar random walk with finite Laplace transform of its increments. We give explicit upper and lower bounds for the rate function of the perimeter in terms of the rate function of the increments. These bounds coincide, hence giving the rate function, for a wide class of distributions which includes the Gaussians and the rotationally invariant ones. For random walks with such increments, large deviations of the perimeter of the convex hull are attained by the trajectories that asymptotically align into line segments but in general, line segments may not be optimal. Furthermore, we find explicitly the rate function of the area of the convex hull for random walks with rotationally invariant distribution of increments. For such walks, which necessarily have zero mean, large deviations of the area are attained by the trajectories that asymptotically align into half-circles. For random walks with non-zero mean increments, we found the rate function of the area for Gaussian walks with drift. Here the optimal limit shapes are elliptic arcs if the covariance matrix of increments is non-degenerate and parabolic arcs if otherwise.

研究动机与目标

• 为平面随机游走凸包的周长和面积建立大偏差原理。
• 在增量分布满足一般条件的前提下，刻画这些泛函的速率函数。
• 识别实现周长和面积大偏差的最优轨迹形状。
• 在特殊情况下（包括高斯和旋转对称增量）确定速率函数的显式表达式。
• 分析最优形状对增量均值与协方差的依赖关系。

提出的方法

• 分析基于大偏差理论，应用于具有有限矩生成函数的增量的平面随机游走凸包。
• 周长的速率函数通过增量分布的速率函数给出上下界，且在旋转对称和高斯增量时达到等号。
• 对于面积，通过对称性与矩生成函数技术推导出显式速率函数，尤其适用于旋转对称及带漂移的高斯随机游走。
• 通过变分原理识别最优轨迹，表明大偏差由渐近对齐为线段、半圆或椭圆/抛物线弧的路径实现。
• 该方法区分零均值与非零均值增量，两类情况下分别出现不同的最优形状。
• 推导过程利用了凸包的性质以及在极端偏差下随机游走路径的几何特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有有限矩生成函数的增量的平面随机游走凸包，其周长的速率函数是什么？
• RQ2 实现周长大偏差的最优轨迹如何依赖于增量的分布？
• RQ3 在旋转对称增量的情况下，凸包面积的速率函数是什么？
• RQ4 当增量具有非零均值和非退化协方差时，面积大偏差的最优形状如何变化？
• RQ5 在何种条件下，线段、半圆或椭圆/抛物线弧会成为凸包泛函的最优极限形状？

主要发现

• 对于具有旋转对称或高斯增量的随机游走，周长的速率函数通过增量分布速率函数的上下界匹配而显式确定。
• 实现周长大偏差的最优轨迹渐近对齐为线段，尽管此类形状在一般情况下并不总是最优。
• 对于零均值、旋转对称增量，面积的速率函数被显式计算，最优轨迹对齐为半圆。
• 对于具有非退化协方差的带漂移高斯随机游走，面积大偏差的最优形状为椭圆弧。
• 当增量的协方差矩阵退化时，面积偏差的最优形状变为抛物线弧。
• 结果完整刻画了周长与面积的大偏差行为，其中形状最优性取决于增量的均值与二阶结构。