[论文解读] On the equality of the quenched and averaged large deviation rate functions for high-dimensional ballistic random walk in a random environment

Atilla Yilmaz|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

本文在Sznitman的瞬时性条件（T）下，建立了高维偏置随机环境中随机游走的大偏差率函数的 quenched 与 averaged 的相等性。在四维及以上维度中，证明了在包含所有非零速度的闭集上，这两个率函数均为有限且相等，其中率函数在此类速度处为零。

ABSTRACT

We consider large deviations for nearest-neighbor random walk in a uniformly elliptic i.i.d. environment. It is easy to see that the quenched and the averaged rate functions are not identically equal. When the dimension is at least four and Sznitman's transience condition (T) is satisfied, we prove that these rate functions are finite and equal on a closed set whose interior contains every nonzero velocity at which the rate functions vanish.

研究动机与目标

• 研究高维随机游走中 quenched 与 averaged 大偏差率函数之间的关系。
• 确定这两个率函数重合的条件。
• 分析在均匀椭圆 i.i.d. 环境中最近邻随机游走的大偏差行为。
• 在包含所有率函数为零的非零速度的集合上，建立率函数的有限性与相等性。

提出的方法

• 将 Sznitman 的瞬时性条件（T）作为关键结构假设，以控制游走的偏置行为。
• 在 i.i.d. 随机环境的背景下，应用 quenched 与 averaged 设置下的大偏差原理。
• 运用随机过程与概率论的技术，比较 quenched 与 averaged 率函数。
• 分析高维（d ≥ 4）下游走的渐近行为，以识别率函数之间相等的区域。
• 利用率函数在某些非零速度处为零的事实，来表征相等性的集合。
• 依赖于环境的均匀椭圆性，以确保转移概率非退化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，quenched 与 averaged 大偏差率函数相等？
• RQ2 状态空间的维度如何影响 quenched 与 averaged 率函数的相等性？
• RQ3 Sznitman 的瞬时性条件（T）在确保率函数相等中起什么作用？
• RQ4 quenched 与 averaged 率函数在哪些速度集合上重合？
• RQ5 在率函数为零的所有非零速度处，率函数是否均为有限且相等？

主要发现

• quenched 与 averaged 大偏差率函数在包含所有率函数为零的非零速度的闭集上相等。
• 在四维及以上维度中，在 Sznitman 的瞬时性条件（T）下，这两个率函数在该集合上均为有限且相等。
• 尽管一般情况下 quenched 与 averaged 率函数并非恒等，但该等式仍成立。
• 该结果在高维偏置随机游走中建立了 quenched 与 annealed 大偏差行为之间的强关联。
• 相等性集合包含了所有率函数为零的速度，表明在大偏差框架下存在深层次的结构一致性。
• 证明依赖于瞬时性、维度与环境均匀椭圆性之间的相互作用。