[论文解读] Large deviations of empirical measures of diffusions in weighted topologies

Grégoire Ferré, Gabriel Stoltz|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2019

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 110被引用 6

一句话总结

本文在与无界函数相关的加权拓扑中，针对扩散过程的经验测度建立了大偏差原理（LDP），采用Donsker–Varadhan型变分公式，并通过一种新颖的速率泛函对称与反对称分量分解方法。关键贡献是一个通用框架，将LDP与Witten–Schrödinger算子的谱隙条件联系起来，适用于像无界空间中的Langevin动力学这类退化扩散过程。

ABSTRACT

We consider large deviations of empirical measures of diffusion processes. In a first part, we present conditions to obtain a large deviations principle (LDP) for a precise class of unbounded functions. This provides an analogue to the standard Cram\\'er condition in the context of diffusion processes, which turns out to be related to a spectral gap condition for a Witten-Schr\\"odinger operator. Secondly, we study more precisely the properties of the Donsker-Varadhan rate functional associated with the LDP. We revisit and generalize some standard duality results as well as a more original decomposition of the rate functional with respect to the symmetric and antisymmetric parts of the dynamics. Finally, we apply our results to overdamped and underdamped Langevin dynamics, showing the applicability of our framework for degenerate diffusions in unbounded configuration spaces.

研究动机与目标

• 在由无界函数定义的加权拓扑中，推导扩散过程经验测度的大偏差原理（LDP）。
• 通过自由能对偶形式表征Donsker–Varadhan速率泛函，并为非对称扩散生成元的主特征值提供变分表示。
• 利用Sobolev半范数将速率泛函分解为可逆与不可逆部分，将先前结果推广至一般扩散过程。
• 展示该框架在过阻尼与欠阻尼Langevin动力学等退化扩散中的适用性，其配置空间为无界空间。

提出的方法

• 通过证明无界测试函数下极限自由能泛函的存在性与Gateau可微性，利用Gärtner–Ellis定理推导LDP。
• 通过Legendre–Fenchel变换建立速率函数与自由能泛函之间的对偶性，将Donsker–Varadhan公式推广至无界情形。
• 引入非对称二阶微分算子主特征值的变分表示，利用Sobolev半范数分离动力学的对称与反对称分量。
• 采用带权函数的Lyapunov函数技术，确保弱拓扑下水平集的指数紧致性与紧致性。
• 利用Girsanov定理与Tchebychev不等式构造LDP的上下界，确保在加权拓扑下的收敛性。
• 通过验证谱隙条件与约束条件，在过阻尼与欠阻尼Langevin动力学上验证该框架的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，无界函数定义的加权拓扑中，扩散过程经验测度的大偏差原理成立？
• RQ2 在无界、非紧致设定下，Donsker–Varadhan速率泛函如何与自由能泛函以对偶形式表达？
• RQ3 能否利用Sobolev半范数将一般扩散生成元的速率泛函分解为可逆与不可逆部分？
• RQ4 何种谱条件或约束条件可确保Langevin动力学等退化扩散在无界空间中的LDP有效性？

主要发现

• 在自然的约束与正则性条件下，针对与无界函数相关的加权拓扑中扩散过程的经验测度，建立了大偏差原理。
• 证明速率函数为自由能泛函的Legendre–Fenchel变换，将Donsker–Varadhan对偶性推广至无界测试函数情形。
• 为无界区域中非对称扩散算子的主特征值导出了变分表示，适用于一般非对称扩散生成元。
• 速率泛函可分解为动力学的对称与反对称部分，其中反对称部分通过Sobolev半范数捕捉不可逆贡献。
• 该框架成功应用于过阻尼与欠阻尼Langevin动力学，证实了在谱隙与Lyapunov条件下存在良好速率函数。
• 对于Langevin动力学，证明速率函数在弱拓扑下为有限且紧支集，并通过Lyapunov函数与加权范数导出显式界。