[论文解读] Large deviations of empirical measures of zeros on Riemann surfaces

Steve Zelditch|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文为紧致黎曼曲面（亏格 $ g \geq 1 $）上随机全纯截面的零点经验测度建立了大偏差原理（LDP），将先前在 $ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $ 上的结果推广至高亏格情形。通过在涡旋模空间（即射影化Picard丛）上使用高斯型测度，作者利用高亏格的Vandermonde行列式、雅可比形式与玻色化公式，计算了零点的联合概率流（JPC），从而得到了LDP的显式速率函数。

ABSTRACT

This is a continuation of a project on large deviations for the empirical measures of zeros of random holomorphic sections of random line bundles over a Riemann surface X. In a previous article with O. Zeitouni (arXiv:0904.4271), we proved an LDP for random polynomials in the genus zero case. In higher genus, there is a Picard variety of line bundles and so the line bundle L is a random variable as well as the section s. The space of pairs (L, s) is known as the "vortex moduli space". The zeros of (L, s) fill out the configuration space $X^{(N)}$ of $N$ points of $X$. The LDP shows that the configurations concentrate at one equilibrium measure exponentially fast. The new features of the proof involve Abel-Jacobi theory, the prime form and bosonization.

研究动机与目标

• 将零点经验测度的大偏差原理（LDP）从亏格0（黎曼球面）推广至紧致黎曼曲面（亏格 $ g \geq 1 $）。
• 在全纯线丛的截面全空间上定义并分析度数为 $ N $ 的线丛的全纯截面的高斯型概率测度，现随 $ g $-维Picard簇 $ \mathrm{Pic}^N $ 变化。
• 通过高亏格特殊函数（如雅可比形式与Green函数）在对称积 $ X^{(N)} = \mathrm{Sym}^N X $ 上计算零点的联合概率流（JPC）作为体积形式。
• 推导出LDP的显式速率函数，用于描述当 $ N \to \infty $ 时，$ N $ 个点的构型作为随机截面零点集的渐近概率。
• 建立射影化Picard丛 $ \mathbb{P}\mathcal{E}^N $ 与构型空间 $ X^{(N)} $ 的解析等价性，从而实现测度向经验测度的前推。

提出的方法

• 在全空间 $ \mathcal{E}^N = \bigcup_{\xi \in \mathrm{Pic}^N} H^0(X, \xi) $ 上定义高斯型测度，使用关于线丛上Hermitian度量的 $ L^2 $ 范数。
• 将截面空间射影化为 $ \mathbb{P}\mathcal{E}^N $，并在纤维上赋予Fubini-Study体积形式，在基空间 $ \mathrm{Pic}^N $ 上赋予Haar测度，形成Fubini-Study纤维系综。
• 通过涉及雅可比形式 $ E(z,w) $、Green函数与theta特征的玻色化公式，将零点的联合概率流（JPC）$ \vec{K}^N $ 计算为 $ X^{(N)} $ 上的体积形式。
• 将JPC表示为Green函数的乘积与涉及雅可比形式的行列式之积，推广了亏格0情形的Vandermonde型行列式。
• 利用JPC的Chern形式表示，将其与模空间上的曲率形式及特征类联系起来。
• 通过分析JPC的对数渐近行为，推导出LDP的速率函数，得到一个涉及 $ \mathcal{M}(X) $ 上能量泛函的变分公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 零点分布的大偏差原理如何从亏格0推广至高亏格黎曼曲面？
• RQ2 在亏格 $ g \geq 1 $ 的曲面上，随机截面的零点在 $ X^{(N)} $ 上的联合概率流（JPC）的显式形式为何？
• RQ3 高亏格情形下的Vandermonde行列式类比物以及雅可比形式、Green函数等特殊函数如何参与JPC的计算？
• RQ4 Picard簇 $ \mathrm{Pic}^N $ 在零点集的统计力学中起何作用？它如何影响 $ X^{(N)} $ 上的测度？
• RQ5 当 $ N \to \infty $ 时，LDP的速率函数如何从JPC的渐近行为推导得出？

主要发现

• 本文为紧致黎曼曲面（亏格 $ g \geq 1 $）上随机全纯截面的零点经验测度 $ \mu_\zeta = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \delta_{\zeta_j} $ 建立了大偏差原理（LDP）。
• 零点的联合概率流（JPC）$ \vec{K}^N $ 被显式计算为 $ X^{(N)} $ 上的体积形式，涉及Green函数的乘积与雅可比形式 $ E(z,w) $，推广了亏格0情形。
• JPC被证明可表示为模空间上行列式线丛的Chern形式，从而与曲率及特征类建立联系。
• LDP的速率函数由 $ \vec{K}^N $ 的对数渐近行为推导得出，得到一个在 $ X $ 上概率测度上最小化特定能量泛函的变分公式。
• 作者将 $ \mathbb{P}\mathcal{E}^N $ 上的Fubini-Study纤维系综识别为涡旋模空间的自然概率测度，其通过零点集映射与 $ X^{(N)} $ 解析等价。
• 该计算依赖于高亏格黎曼曲面理论中的玻色化公式，包括自守因子与带特征的theta函数的使用，以处理 $ \mathrm{Pic}^N $ 的非平凡拓扑。