[论文解读] Large deviations of subgraph counts for sparse Erd\H{o}s--R\'enyi graphs

Nicholas A. Cook, Amir Dembo|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 31被引用 12

一句话总结

该论文为稀疏 Erdős–Rényi 随机图中的子图计数建立了精确的大偏差渐近行为，引入了专为大偏差情形设计的 Szemerédi 正则性引理和计数引理的定量版本。论文证明了任意固定图 $ H $ 的同态计数上尾概率的主导指数速率，其稀疏性阈值优于先前工作，且在 $ ho(H) = 1/2 $ 时对环图计数达到最优。

ABSTRACT

For any fixed simple graph $H=(V,E)$ and any fixed $u>0$, we establish the leading order of the exponential rate function for the probability that the number of copies of $H$ in the Erd\\H{o}s--R\\'enyi graph $G(n,p)$ exceeds its expectation by a factor $1+u$, assuming $n^{-\\kappa(H)}\\ll p\\ll1$, with $\\kappa(H) = 1/(2\\Delta)$, where $\\Delta\\ge 1$ is the maximum degree of $H$. This improves on a previous result of Chatterjee and the second author, who obtained $\\kappa(H)=c/(\\Delta|E|)$ for a constant $c>0$. Moreover, for the case of cycle counts we can take $\\kappa$ as large as $1/2$. We additionally obtain the sharp upper tail for Schatten norms of the adjacency matrix, as well as the sharp lower tail for counts of graphs for which Sidorenko's conjecture holds. As a key step, we establish quantitative versions of Szemer\\'edi's regularity lemma and the counting lemma, suitable for the analysis of random graphs in the large deviations regime.

研究动机与目标

• 解决稀疏 Erdős–Rényi 图 $ G(n,p) $ 中同态计数的大偏差上尾问题，其中 $ p o 0 $。
• 为稀疏随机图中的大偏差情形，开发 Szemerédi 正则性引理与计数引理的定量版本。
• 改进此前 Chatterjee 和 Dembo 所得结果中已知精确渐近行为的稀疏性阈值 $ p o 0 $，实现更优的条件。
• 为邻接矩阵的 Schatten 范数以及满足 Sidorenko 猜想的图，建立精确的上尾与下尾估计。
• 提供一个可推广至图论之外的框架，包括在稀疏随机集合中研究等差数列。

提出的方法

• 提出一种具有显式部分数量与 $ ho $-正则性界约束的定量正则性引理，专为稀疏图的大偏差设计。
• 开发一种定量计数引理，控制在 $ ho $-正则性与稀疏性条件下同态计数近似中的误差。
• 利用正则性引理与计数引理分析稀疏情形下上尾概率 $ bP( ext{hom}(H,G) o (1+u)n^{ u(H)}p^{ au(H)}) $。
• 应用二项分布的大偏差原理与基于熵的邻接矩阵元素尾部控制方法，以控制罕见事件。
• 通过算子范数与迹不等式，建立同态计数上尾与邻接矩阵的 Schatten $ eta $-范数之间的联系。
• 借助 Sidorenko 猜想，利用熵最小化与矩阵集中方法，为满足该猜想的图导出精确的下尾估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在稀疏 Erdős–Rényi 图中，上尾概率 $ bP( ext{hom}(H,G) o (1+u)n^{ u(H)}p^{ au(H)}) $ 的精确渐近速率为何？
• RQ2 能否构造出适用于稀疏随机图中大偏差情形的 Szemerédi 正则性引理与计数引理的定量版本？
• RQ3 使得大偏差速率精确的最优稀疏性阈值 $ p = n^{-c} $ 是什么？其如何依赖于图 $ H $ 的结构？
• RQ4 在稀疏情形下，邻接矩阵的 Schatten 范数的上尾与下尾行为如何？
• RQ5 该框架能否推广以导出满足 Sidorenko 猜想的图的精确尾部估计？

主要发现

• 对于任意固定简单图 $ H $，当 $ p o 0 $ 且满足 $ n^{- ho(H)} o 0 $（其中 $ ho(H) = 1/(2 riangle) $，$ riangle $ 为 $ H $ 的最大度数）时，本文建立了 $ ext{hom}(H,G) $ 上尾的主导指数速率。
• 稀疏性阈值 $ ho(H) = 1/(2 riangle) $ 优于 Chatterjee 与 Dembo 所得的先前界 $ ho(H) = c/( riangle |E|) $（$ c>0 $）。
• 对于环图计数 $ ext{hom}( extsf{C}_ au, G) $，该方法达到了最优阈值 $ ho(H) = 1/2 $，该值被猜想为最优可能。
• 本文推导出邻接矩阵 Schatten $ eta $-范数的精确上尾渐近行为，表明速率函数渐近等价于 $ inom{n}{2} I_p(q) $，其中 $ q = sp $，$ s o 0 $。
• 对于满足 Sidorenko 猜想的图 $ H $，本文获得了 $ bP( ext{hom}(H,G) o (1-u)n^{ u(H)}p^{ au(H)}) $ 的精确下尾估计，其速率函数与基于熵的下界一致。
• 定量正则性引理与计数引理被证明是大偏差问题中的有效工具，其显式误差界在稀疏性下具有适当缩放性。