[论文解读] Nonlinear large deviation bounds with applications to traces of Wigner matrices and cycles counts in Erdös-Renyi graphs

Fanny Augeri|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用 22

一句话总结

本文在不依赖函数二阶光滑性的前提下，利用凸分析与Legendre对偶性，建立了适用于一般分布的非线性大偏差界。该方法被应用于Wigner矩阵的迹以及稀疏Erdős–Rényi图中环计数的尾部概率分析，精确推导出在临界稀疏度阈值 $ n^{-1/2} $ 处的尖锐上尾界，改进了以往结果，并证明了子高斯Wigner矩阵的速率函数具有普遍性。

ABSTRACT

We prove general nonlinear large deviation estimates similar to Chatterjee-Dembo's original bounds except that we do not require any second order smoothness. Our approach relies on convex analysis arguments and is valid for a broad class of distributions. Our results are then applied in three different setups. Our first application consists in the mean-field approximation of the partition function of the Ising model under an optimal assumption on the spectra of the adjacency matrices of the sequence of graphs. Next, we apply our general large deviation bound to investigate the large deviation of the traces of powers of Wigner matrices with sub-Gaussian entries, and the upper tail of cycles counts in sparse Erdös-Renyi graphs down to the connectivity threshold $n^{-1/2}$.

研究动机与目标

• 发展适用于一般函数的非线性大偏差估计，无需函数具备二阶光滑性，扩展Chatterjee-Dembo的框架。
• 将这些边界应用于在底层图满足最优谱假设条件下的伊辛模型配分函数的平均场近似。
• 分析具有子高斯条目的Wigner矩阵的迹的大偏差行为，证明其速率函数的普遍性。
• 在稀疏度阈值 $ n^{-1/2} $ 处，对稀疏Erdős–Rényi图中环计数的上尾概率进行估计，改进现有结果。
• 消除非渐近大偏差界中与光滑性相关的误差项，使得在更低的偏离速度与稀疏度水平下仍可进行分析。

提出的方法

• 利用凸分析与Legendre对偶性，为不依赖 $ C^2 $ 光滑性的通用概率测度推导大偏差界。
• 通过Legendre变换 $ abla \to abla^* $ 关联累积生成函数 $ ilde{\theta} $ 与速率函数 $ ilde{\theta}^* $，从而利用陡度与本质光滑性等性质。
• 采用截断方法降低迹泛函 $ \text{tr}(X^d) $ 的复杂度，通过选择 $ k $，用 $ O(nk\bar{\text{log}} \, n) $ 比特编码其梯度。
• 利用低秩有界范数矩阵 $ W $ 的覆盖数估计，控制截断函数的Lipschitz常数，其中 $ \text{rank}(H) \leq 2k $，$ \|H\| \leq 2dn^{d-1} $。
• 应用非渐近大偏差界（命题1.5），在支撑集满足紧致性条件时，结合 $ \tilde{\theta}^* $-基集中度与对数覆盖数。
• 通过与高斯系综比较，证明Wigner矩阵的速率函数具有普遍性，依赖于精确的子高斯尾部假设与谱控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖函数二阶光滑性的前提下，为一般分布建立大偏差界？
• RQ2 具有子高斯条目的Wigner矩阵的幂迹的精确大偏差行为是什么？
• RQ3 在临界稀疏度水平 $ n^{-1/2} $ 处，Erdős–Rényi图中环计数的尖锐上尾概率是多少？
• RQ4 能否将伊辛模型配分函数的平均场近似扩展至除完全图外的具有通用谱性质的图序列？
• RQ5 如何改进非线性大偏差界中的误差项，以允许在更低的偏离速度与稀疏度水平下进行分析？

主要发现

• 本文在不依赖 $ C^2 $ 光滑性的前提下，建立了适用于一般分布的非线性大偏差界，改进了Chatterjee-Dembo与Yan的工作，消除了与光滑性相关的误差项。
• 对于具有子高斯条目的Wigner矩阵，$ X^d $ 的迹的速率函数在该类矩阵中具有普遍性，且在对数修正范围内具有尖锐的尾部界。
• 在稀疏度阈值 $ n^{-1/2} $ 处，对Erdős–Rényi图中环计数的上尾概率进行了估计，改进了Cook与Dembo对三角形结果的界限。
• 伊辛模型配分函数的平均场近似被扩展至其邻接矩阵满足谱假设的图序列，包括星形图。
• 基于截断的方法将 $ \text{tr}(X^d) $ 的梯度复杂度降低至 $ O(nk\bar{\text{log}} \, n) $ 比特，使得当 $ k $ 满足 $ \bar{\text{log}}^4(1/p) = o(k) $ 且 $ k = o(np^2) $ 时，可应用大偏差界。
• 证明了速率函数 $ \tilde{\theta}^* $ 是下确连续且严格凸的，确保Legendre对偶框架的有效性以及梯度映射的可逆性。