[论文解读] Largest Similar Copies of Convex Polygons in Polygonal Domains

Taekang Eom, Seungjun Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 17被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新算法，用于在包含 n 个障碍物的多边形区域 Q 中寻找凸 k 边形 P 的最大相似副本，将时间复杂度提升至 O(k²n²λ₄(k) log n)。通过细化旋转过程中边 Delaunay 三角剖分的组合变化分析，作者减少了临界方向的数量，从而在超过 25 年前的先前结果基础上实现了显著的渐近改进。

ABSTRACT

Given a convex polygon with k vertices and a polygonal domain consisting of polygonal obstacles with n vertices in total in the plane, we study the optimization problem of finding a largest similar copy of the polygon that can be placed in the polygonal domain without intersecting the obstacles. We present an upper bound O(k²n²λ₄(k)) on the number of combinatorial changes occurred to the underlying structure during the rotation of the polygon, together with an O(k²n²λ₄(k)log n)-time deterministic algorithm for the problem. This improves upon the previously best known results by Chew and Kedem [SoCG89, CGTA93] and Sharir and Toledo [SoCG91, CGTA94] on the problem in more than 27 years. Our result also improves the time complexity of the high-clearance motion planning algorithm by Chew and Kedem.

研究动机与目标

• 解决经典的计算几何问题：在含障碍物的多边形区域 Q 中放置凸多边形 P 的最大相似副本。
• 改进在平移、旋转和缩放下多边形包含问题的最坏时间复杂度。
• 通过分析 Q 的边 Delaunay 三角剖分中的变化，减少 P 旋转过程中的临界方向数量。
• 填补 Chew 和 Kedem 以及 Sharir 和 Toledo 在 1990 年代初建立的时间复杂度界限中的长期空白。
• 提供一种确定性、渐近更快的算法，无需依赖参数搜索技术。

提出的方法

• 分析 P 旋转时 Q 的边 Delaunay 三角剖分（eDT）的组合变化，重点关注 P 与障碍物边或顶点之间的接触对。
• 根据接触对类型对临界方向进行分类：(4,0)、(3,1)、(1,3) 和 (2,2)-变化，基于角点与边的接触。
• 利用几何不变量（如固定外接圆交点 G 和恒定角度）来限制参数方程的解的数量。
• 推导顶点轨迹（线段或圆弧）的参数方程，并通过求解交点来限制临界方向的数量。
• 应用 Davenport–Schinzel 序列（λ₄(k)）来限制总组合变化数，从而得出 O(k²n²λ₄(k)) 的总变化数。
• 将改进后的界限与扫描线或旋转扫描算法结合，实现最终的时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大小为 n 的多边形区域 Q 中旋转凸 k 边形 P 时，其真实的渐近临界方向数量是多少？
• RQ2 旋转过程中边 Delaunay 三角剖分的组合变化数能否低于先前的 O(k⁴nλ₃(n)) 界？
• RQ3 是否可能在不使用参数搜索的情况下，实现最大相似副本问题的更快确定性算法？
• RQ4 如固定外接圆交点等几何不变量如何约束旋转过程中的有效方向数量？
• RQ5 能否在不依赖随机化或参数搜索方法的前提下，同时提升 k 相对于 n 较小和较大的情况下的时间复杂度？

主要发现

• P 旋转过程中的临界方向数量被限制在 O(k²n²λ₄(k)) 以内，相较于 Chew 和 Kedem 的先前 O(k⁴nλ₃(n)) 界有显著改进。
• 该算法的时间复杂度为 O(k²n²λ₄(k) log n)，比 Sharir 和 Toledo 的先前最优结果 O(k²nλ₄(kn) log³(kn) log log(kn)) 渐近更快。
• 由于 λ₄(k) 的次线性增长特性，与 λ₃(n) 相比，该新界对所有 k 和 n 均更小，尤其在 k 较大时优势明显。
• 该改进不依赖参数搜索，使算法更具实用性与确定性。
• 该结果填补了该计算几何基础问题时间复杂度研究中长达 25 年的空白。
• 对接触对类型（如 (2,2)-变化）及其解的数量（最多四个临界方向）的分析，为改进的界提供了精确的组合基础。