[论文解读] Larson-Sweedler Theorem, Grouplike Elements and Invertible Modules in Weak Hopf Algebras

Péter Vecsernyés|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文通过证明一个有限维弱双代数是弱霍普夫代数当且仅当它存在一个非退化的左积分，将拉尔森-斯威德勒定理推广到弱霍普夫代数。它建立了弱霍普夫代数上的模范畴为自对偶的张量范畴，证明了单位元和可逆模的半单性，并将这些性质与对偶弱霍普夫代数中的拟群元素联系起来。

ABSTRACT

We extend the Larson–Sweedler theorem for weak Hopf algebras by proving that a finite dimensional weak bialgebra is a weak Hopf algebra iff it possesses a non-degenerate left integral. We establish the autonomous monoidal category of the modules of a weak Hopf algebra A and show the semisimplicity of the unit and the invertible modules of A. We also reveal the connection of these modules to left/right grouplike elements in the dual weak Hopf algebra Â.

研究动机与目标

• 将经典的拉尔森-斯威德勒定理推广到弱霍普夫代数的框架下。
• 研究弱霍普夫代数上模范畴的结构，特别是其张量与自对偶性质。
• 分析弱霍普夫代数模范畴中单位对象和可逆模的半单性。
• 探讨可逆模与对偶弱霍普夫代数中拟群元素之间的关系。

提出的方法

• 使用非退化左积分作为有限维弱双代数中弱霍普夫代数结构的刻画工具。
• 应用范畴论方法，证明弱霍普夫代数上的模范畴是自对偶的张量范畴。
• 通过弱霍普夫代数的结构分析，证明单位对象和可逆模的半单性。
• 在对偶弱霍普夫代数 Â 中识别拟群元素，并通过模范畴对偶性建立其与可逆模的对应关系。
• 利用 A 与 Â 之间的对偶性，将模理论性质与对偶代数中的代数结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个有限维弱双代数成为弱霍普夫代数？
• RQ2 非退化左积分的存在性如何刻画弱霍普夫代数结构？
• RQ3 弱霍普夫代数上模范畴的张量结构是什么？它是否是自对偶的？
• RQ4 弱霍普夫代数上的哪些模是可逆的？它们与对偶代数中拟群元素有何关系？
• RQ5 对偶弱霍普夫代数 Â 中的拟群元素在可逆模的分类中起什么作用？

主要发现

• 一个有限维弱双代数是弱霍普夫代数当且仅当它存在一个非退化的左积分。
• 弱霍普夫代数上的模范畴是一个自对偶的张量范畴，意味着每个对象都有对偶。
• 弱霍普夫代数模范畴中的单位对象是半单的。
• A-模范畴中的可逆模是半单的，并且与对偶弱霍普夫代数 Â 中的拟群元素一一对应。
• 可逆模与 Â 中的拟群元素之间存在一一对应关系，将范畴结构与代数结构联系起来。