[论文解读] Latent Modes of Nonlinear Flows -- a Koopman Theory Analysis

I. Bernard Cohen, Guy Gilboa|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 37被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于Koopman理论的框架，通过识别Koopman特征函数（KEFs）来分析非线性流动，实现全局线性化、降维和系统重构。该框架提出了一种新型的基于稀疏性的模态分解方法，利用过完备的衰减轮廓字典，克服了传统动态模态分解（DMD）在捕捉复杂动力学方面的局限性。

ABSTRACT

Extracting the latent underlying structures of complex nonlinear local and nonlocal flows is essential for their analysis and modeling. In this work, we attempt to provide a consistent framework through Koopman theory and its related popular discrete approximation -- dynamic mode decomposition (DMD). We investigate the conditions to perform appropriate linearization, dimensionality reduction, and representation of flows in a highly general setting. The essential elements of this framework are Koopman Eigenfunction (KEF), for which existence conditions are formulated. This is done by viewing the dynamic as a curve in state-space. These conditions lay the foundations for system reconstruction, global controllability, and observability for nonlinear dynamics. We examine the limitations of DMD through the analysis of Koopman theory and propose a new mode decomposition technique based on the typical time profile of the dynamics. An overcomplete dictionary of decay profiles is used to sparsely approximate the flow. This analysis is also valid in the full continuous setting of Koopman theory, which is based on variational calculus. We demonstrate applications of this analysis, such as finding KEFs and their multiplicities, dynamics reconstruction, and global linearization.

研究动机与目标

• 开发一种一致的框架，用于利用Koopman理论和动态模态分解（DMD）分析复杂的非线性流动。
• 在一般非线性设置下，制定Koopman特征函数（KEFs）存在的条件。
• 通过一种新型模态分解技术，解决DMD在表示非线性动力学方面的局限性。
• 通过KEFs实现系统的重构、全局可控制性和可观测性。
• 通过变分法和过完备的衰减轮廓字典，将分析扩展到连续设置。

提出的方法

• 将动力学建模为状态空间中的曲线，以分析Koopman算子的性质，并推导KEFs存在的条件。
• 使用典型时间轮廓（如指数衰减）的过完备字典，对流动动力学进行稀疏逼近。
• 应用稀疏逼近技术，从字典中识别出主导模态，确保最小的表示误差。
• 在离散（类似DMD）和连续（基于变分法）两种设置下制定分解方法。
• 整合变分法，将框架扩展至连续时间Koopman理论。
• 通过组合识别出的KEFs及其重数，重构动力学并评估全局线性化效果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般非线性流动中，Koopman特征函数（KEFs）在何种条件下存在？
• RQ2 如何系统性地改进DMD，以超越其标准假设，准确表示复杂的非线性动力学？
• RQ3 衰减轮廓字典在实现非线性流动动力学的稀疏、精确表示中起到什么作用？
• RQ4 如何通过变分法将连续Koopman框架扩展，以实现对完整动力学的分析？
• RQ5 识别出的KEFs及其重数是否能够实现全局系统重构与线性化？

主要发现

• 本文通过状态空间曲线表示方法，建立了非线性流动中Koopman特征函数（KEFs）存在的充分条件。
• 所提出的基于稀疏性的分解方法优于标准DMD，能够通过过完备的衰减轮廓字典捕捉非指数和非周期性动力学。
• 成功识别出KEFs及其重数，实现了对非线性动力学的精确重构。
• 该框架通过将系统嵌入更高维的线性空间来实现非线性系统的全局线性化。
• 通过变分法扩展连续Koopman理论，使对流动动力学的分析超越离散近似，实现严格分析。
• 该方法在重构复杂流动方面表现出鲁棒性，包括梯度流和基于齐次算子的动力学，且在可观测性和可控制性表征方面表现更优。