[论文解读] Lattice paths and branched continued fractions. III. Generalizations of the Laguerre, rook and Lah polynomials

Bishal Deb, Alexander Dyachenko+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2023

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 60被引用 5

一句话总结

本文通过带权边的拉盖尔有向图中的格路，引入了拉盖尔、车多项式和Lah多项式的5变量推广，利用生成矩阵与指数黎曼阵列，证明了其系数的Hankel-完全正定性。关键结果建立了广义四对角生成矩阵的完全正定性，扩展了三对角比较定理，并与分支连分数及与修正贝塞尔函数相关的多重正交多项式相联系。

ABSTRACT

We introduce a triangular array $\widehat{\sf L}^{(α)}$ of 5-variable homogeneous polynomials that enumerate Laguerre digraphs (digraphs in which each vertex has out-degree 0 or 1 and in-degree 0 or 1) with separate weights for peaks, valleys, double ascents, double descents, and loops. These polynomials generalize the classical Laguerre polynomials as well as the rook and Lah polynomials. We show that this triangular array is totally positive and that the sequence of its row-generating polynomials is Hankel-totally positive, under suitable restrictions on the values given to the indeterminates. This implies, in particular, the coefficientwise Hankel-total positivity of the monic unsigned univariate Laguerre polyomials. Our proof uses the method of production matrices as applied to exponential Riordan arrays. Our main technical lemma concerns the total positivity of a large class of quadridiagonal production matrices; it generalizes the tridiagonal comparison theorem. In some cases these polynomials are given by a branched continued fraction. Our constructions are motivated in part by recurrences for the multiple orthogonal polynomials associated to weights based on modified Bessel functions of the first kind $I_α$.

研究动机与目标

• 将经典的拉盖尔、车和Lah多项式推广为一个5变量的三角形齐次多项式阵列，用于计数带权拉盖尔有向图。
• 在适当的不定元限制下，建立这些广义多项式的系数的Hankel-完全正定性。
• 将生成矩阵理论推广至四对角形式，推广三对角比较定理。
• 将构造与第一类修正贝塞尔函数相关的多重正交多项式相联系。
• 证明某些多重生成函数可作为分支连分数的系数出现。

提出的方法

• 作者定义了一个5变量多项式阵列 $\widehat{\sf L}^{(\alpha)}$，用于计数具有峰、谷、双上升、双下降和环路五类不同权重的拉盖尔有向图。
• 他们利用指数黎曼阵列与二项式行生成矩阵来建模这些多项式的生成函数。
• 一个关键技术工具是使用生成矩阵，特别是新颖的四对角形式，以编码多项式的递推结构。
• 完全正定性的证明依赖于四对角矩阵的广义比较定理，将经典三对角结果推广至更高带宽矩阵。
• 该方法利用了部分有序交换环中Hankel-完全正定性与系数的完全正定性理论。
• 通过将不定元特化为与修正贝塞尔函数 $I_\alpha$ 相关的权重，建立了与多重正交多项式之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将经典的拉盖尔、车和Lah多项式推广到一个能捕捉有向图中多种边类型的多变量框架？
• RQ2 在自然参数限制下，所提出的5变量多项式阵列是否表现出系数的Hankel-完全正定性？
• RQ3 能否建立一类新型四对角生成矩阵的完全正定性，推广已知的三对角结果？
• RQ4 这些广义多项式的生成函数是否存在分支连分数表示？
• RQ5 这些多项式与基于修正贝塞尔函数权重的多重正交多项式之间的确切联系是什么？

主要发现

• 5变量多项式阵列 $\widehat{\sf L}^{(\alpha)}$ 通过为五类边类型（峰、谷、双上升、双下降和环路）分别赋予权重，推广了经典的拉盖尔、车和Lah多项式。
• 在适当的不定元限制下，$\widehat{\sf L}^{(\alpha)}$ 的行生成多项式序列被证明是Hankel-完全正定的，从而蕴含其系数的Hankel-完全正定性。
• 证明了一个新的四对角生成矩阵比较定理，推广了经典三对角比较定理，使得在更高带宽情形下完全正定性的证明成为可能。
• 单次无符号一元拉盖尔多项式被证明是系数的Hankel-完全正定的，将已知结果扩展至更广的多项式类。
• 广义多项式的生成函数被证明可作为分支连分数的系数出现，特别是在 $m=2$ 的 $m$-雅可比-罗杰斯多项式背景下。
• 该构造与基于修正贝塞尔函数 $I_\alpha$ 的权重相关的多重正交多项式相联系，为这些特殊函数提供了新的组合解释。