[论文解读] Lattice quantum codes and exotic topological phases of matter

Jeongwan Haah|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 46被引用 13

一句话总结

本文提出了一种三维晶格自旋模型，在有限温度下实现自修正量子存储，利用宏观能垒将热误差局域化。该模型表现出具有非移动任意子和随系统尺寸以复杂数论函数方式演化的基态 degeneracy 的奇异拓扑序，使存储时间随逆温度平方呈指数增长——优于以往的拓扑码。

ABSTRACT

This thesis addresses whether it is possible to build a robust memory device for quantum information. A three-dimensional gapped lattice spin model is found which demonstrates for the first time that a reliable quantum memory at finite temperature is possible, at least to some extent. When quantum information is encoded into a highly entangled ground state of this model and subjected to thermal errors, the errors remain easily correctable for a long time without any active intervention, because a macroscopic energy barrier keeps the errors well localized. As a result, stored quantum information can be retrieved faithfully for a memory time which grows exponentially with the square of the inverse temperature. In contrast, for previously known types of topological quantum storage in three or fewer spatial dimensions the memory time scales exponentially with the inverse temperature, rather than its square. This spin model exhibits a previously unexpected topological quantum order, in which ground states are locally indistinguishable, pointlike excitations are immobile, and the immobility is not affected by small perturbations of the Hamiltonian. The degeneracy of the ground state, though also insensitive to perturbations, is a complicated number-theoretic function of the system size, and the system bifurcates into multiple noninteracting copies of itself under real-space renormalization group transformations. The degeneracy, the excitations, and the renormalization group flow can be analyzed using a framework that exploits the spin model's symmetry and some associated free resolutions of modules over polynomial algebras.

研究动机与目标

• 设计一种在有限温度下无需主动纠错即可可靠运行的容错量子存储器。
• 克服现有拓扑量子码的局限性，后者仅表现出与逆温度呈指数关系的存储时间增长。
• 构建一种具有新颖拓扑序的有能隙晶格自旋模型，包括非移动任意子和非平凡基态简并度。
• 使用重整化群技术与代数方法分析量子信息在热噪声下的稳定性。
• 证明量子信息可被保存的时间与逆温度 β 的平方呈指数关系，即 exp(β²)，超越先前的界限。

提出的方法

• 在立方晶格上构建一个具有局部、可交换相互作用的三维稳定算符哈密顿量。
• 识别出一种“无弦”规则，防止产生扩展的弦状激发，从而强制点状任意子的非移动性。
• 使用代数技术——特别是多项式环上的自由解析和格鲁伯基方法——计算基态简并度并分析拓扑序。
• 应用实空间重整化群变换，表明该模型在粗粒化下分裂为非相互作用的副本。
• 采用重整化群解码器分析热噪声下的纠错阈值与可纠正性。
• 分析热分区函数与林德布拉德动力学，量化误差累积与存储寿命。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种无需主动纠错即可在有限温度下实现自修正的量子存储？
• RQ2 何种类型的拓扑序可支持非移动任意子与宏观能垒？
• RQ3 在有能隙且平移不变的自旋模型中，基态简并度如何随系统尺寸演化？
• RQ4 重整化群解码器能否在拓扑稳定算符码中实现纠错阈值？
• RQ5 在自修正量子存储中，存储时间与逆温度的精确标度关系为何？

主要发现

• 该模型表现出宏观能垒，可将热误差局域化，防止其传播，从而实现长期纠错。
• 存储于基态的量子信息可被纠正的时间尺度为 exp(β²)，其中 β 为逆温度，显著优于以往模型的 exp(β) 标度。
• 基态简并度是系统尺寸的复杂数论函数，取决于有限域上多项式理想结构。
• 由于“无弦”规则，模型中存在非移动任意子，该规则禁止生成扩展的弦算符，使拓扑序在微扰下保持稳定。
• 在实空间重整化下，该模型分裂为多个非相互作用副本，表明存在非平凡的重整化群流。
• 重整化群解码器实现了纠错阈值，证明该方案在热噪声下具有可行性。