[论文解读] Lattices, cohomology and models of six dimensional almost abelian solvmanifolds

Sergio Console, Maura Macrì|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 11

一句话总结

本文在六维几乎交换的可解齐性空间中构造了最著名条件失效的格，导致de Rham上同调依赖于格而非仅李代数。通过改进的李群方法与Oprea-Tralle方法，计算了上同调与极小模型，表明某些可解齐性空间允许非不变的辛结构，并分析了形式性与Lefschetz性质，关键结果包括非形式化模型与特定情况下的非不变辛形式。

ABSTRACT

We construct lattices on six dimensional not completely solvable almost abelian Lie groups, for which the Mostow condition does not hold. For the corresponding compact quotients, we compute the de Rham cohomology (which does not agree in general with the Lie algebra one) and a minimal model. We show that some of these solvmanifolds admit not invariant symplectic structures and we study formality and Lefschetz properties.

研究动机与目标

• 在六维几乎阿贝尔可解李群中构造格，使得Mostow条件不成立，导致上同调依赖于格。
• 计算所得齐性空间的de Rham上同调与极小模型，表明其与这些情况下的李代数上同调不同。
• 研究这些齐性空间上是否存在非不变的辛结构。
• 分析所构造齐性空间的形式性与强Lefschetz性质。

提出的方法

• 使用[3]中的准则（命题2.1）在六维几乎阿贝尔李群中构造格。
• 应用可解李群的改进方法，将齐性空间的上同调与改进群的李代数上同调联系起来。
• 采用基于Felix和Thomas结果的Oprea-Tralle方法，为非幂零纤维丛构造Koszul-Sullivan模型。
• 使用微分分次代数技术，显式计算特定齐性空间的极小模型。
• 利用s-形式性的概念与定理5.2，通过检查(n−1)-形式性（特别是4维模型的1-形式性）来评估形式性。
• 通过验证存在一个诱导上同调恒等映射的c.g.d.a.同态来确认形式性，或在该映射失败时通过反证法证明非形式性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在六维几乎阿贝尔可解齐性空间中构造出Mostow条件不成立的格，导致上同调依赖于格？
• RQ2 这些齐性空间是否允许非不变的辛结构，以及如何检测它们？
• RQ3 这些齐性空间中哪些是形式的，极小模型中的微分在决定形式性方面起什么作用？
• RQ4 这些齐性空间中的强Lefschetz性质如何表现，其失效的条件是什么？

主要发现

• 对于 $G_{6.8}^{p=0}/\tilde{\rho}_{2\tau}$，贝蒂数为 $b_1=3$，$b_2=3$，$b_3=2$，与李代数上同调 $b_1=1$，$b_2=1$，$b_3=2$ 不同。
• 齐性空间 $G_{6.10}^{a=0}/\tilde{\rho}_{2\tau}$ 的 $b_1=4$，$b_2=7$，$b_3=8$，且非形式，因为存在非平凡上同调类 $[Ap]$ 在假设的形式性映射下不映射为零。
• 齐性空间 $G_{5.17}^{p,-p,r}\times\bbR/\tilde{\rho}_{2\tau}$ 在 $p \neq 0$ 且 $r \neq \pm1$ 时允许非不变的辛结构，其 $b_1=6$，$b_2=15$，$b_3=20$。
• 齐性空间 $G_{5.17}^{p,-p,r}\times\bbR/\tilde{\rho}_{2\tau}$ 的极小模型为 $\mathcal{M}=(\Lambda(u_1,A_1,x_2,y_2\beta_3,\gamma_3),D)$，其中 $Du=DA=Dx=Dy=0$，$D\beta=x^2$，$D\gamma=y^2$，表明具有非平凡微分结构。
• 齐性空间 $G_{5.18}^0\times\bbR/\Gamma_{2\pi}$ 的极小模型为 $\mathcal{M}=(\Lambda(u_1,A_1,x_1,y_1,z_1,t_1),D)$，其中 $Dz=Ax$，$Dt=Ay$，且由于 $D|_{\mathcal{M}_U} \equiv d$，故为形式。
• 对于 $G_{3.5}^0\times\bbR^3/\Gamma_{2\pi}$，其极小模型为 $\mathcal{M}=(\Lambda(w_1,v_1,A_1,x_1,y_1),0)$，表明其为具有平凡微分的形式模型。