[论文解读] Lattices in crystalline representations and Kisin modules associated with iterate extensions

Yoshiyasu Ozeki|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文在Cais-Liu的$f$-迭代扩张广义设定下，建立了晶状$(\varphi,\hat{G})$-模的理论，将Kisin的框架扩展至通过带有附加结构的Kisin模分类$G$-稳定格在晶状表示中的应用。关键结果是在条件$e(r-1) < n_f(p-1)/p$下，对挠晶状表示的限制函子实现完全忠实，推广了此前针对$f(u) = u^p$的结果，并证实了[CL]中的一个猜想。

ABSTRACT

Cais and Liu extended the theory of Kisin modules and crystalline representations to allow more general coefficient fields and lifts of Frobenius. Based on their theory, we classify lattices in crystalline representations by Kisin modules with additional structures under a Cais-Liu's setting. Furthermore, we give a geometric interpretation of Kisin modules of height one in terms of Dieudonné crystals of $p$-divisible groups, and show a full faithfulness theorem for a restriction functor on torsion crystalline representations.

研究动机与目标

• 将$(\varphi,\hat{G})$-模的理论扩展至Cais和Liu定义的$f$-迭代扩张广义设定下的晶状表示。
• 在Cais-Liu框架下，利用带有附加结构的Kisin模，对晶状$\mathbb{Q}_p$-表示中的$G$-稳定格进行分类。
• 通过$ p $-除子群的Dieudonné晶体，对高度为一的Kisin模提供几何解释。
• 在广义设定下，建立对挠晶状表示的限制函子的完全忠实定理，推广此前针对$f(u) = u^p$的结果。
• 解决[CL, 注记5.2.3及第6.3节]中关于$F = \mathbb{Q}_p$时限制函子忠实性的猜想。

提出的方法

• 将Liu的$(\varphi,\hat{G})$-模理论适配至Cais-Liu的$f$-迭代扩张$K_{\underline{\pi}}/K$设定，其中$f(u) \in \mathbb{Z}_p[u]$满足$f(u) \equiv u^p \mod p$。
• 引入并研究具有附加条件的高度$r$的$(\varphi,\hat{G})$-模，建立此类模与具有$[0,r]$内霍奇-泰特权的晶状表示中$G$-稳定格之间的反等价。
• 利用范畴$\mathrm{Max}^r_{\mathfrak{S}_\infty}$中极大对象的理论，分析Kisin模及其相关伽罗瓦表示的结构。
• 应用Dieudonné晶体理论，通过$p$-除子群对高度为一的Kisin模进行几何解释。
• 采用限制函子$\mathrm{Rep}^{r,\mathrm{cris}}_{\mathrm{tor}}(G) \to \mathrm{Rep}_{\mathrm{tor}}(G_{\underline{\pi}})$，在条件$e(r-1) < n_f(p-1)/p$下证明其完全忠实，利用赋值性质与模极大性的特征。
• 利用同构$T|_{G_{\underline{\pi}}} \simeq \hat{T}(\hat{\mathfrak{M}}(\mathfrak{n}))|_{G_{\underline{\pi}}}$及涉及Hom集与遗忘函子的交换图表论证，建立Hom空间的双射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将$(\varphi,\hat{G})$-模的理论扩展至Cais和Liu定义的$f$-迭代扩张广义设定下的晶状表示？
• RQ2 不同$f(u)$选择与相容系统$\{\pi_n\}$对应的Kisin模之间存在何种关系？
• RQ3 在何种条件下，限制函子$\mathrm{Rep}^{r,\mathrm{cris}}_{\mathrm{tor}}(G) \to \mathrm{Rep}_{\mathrm{tor}}(G_{\underline{\pi}})$是完全忠实的？
• RQ4 如何通过Dieudonné晶体对高度为一的Kisin模进行几何解释？
• RQ5 在更弱假设下，特别是当$er < p-1$时，完全忠实结果是否仍成立？

主要发现

• 建立了高度$r$的$(\varphi,\hat{G})$-模（带附加条件）范畴与具有$[0,r]$内霍奇-泰特权的晶状$\mathbb{Q}_p$-表示中$G$-稳定格范畴之间的反等价。
• 在条件$e(r-1) < n_f(p-1)/p$下，限制函子$\mathrm{Rep}^{r,\mathrm{cris}}_{\mathrm{tor}}(G) \to \mathrm{Rep}_{\mathrm{tor}}(G_{\underline{\pi}})$实现完全忠实，推广了此前针对$f(u) = u^p$的结果。
• 当$f(u) = u^p$时，结果恢复了[Oz2]中的定理1.2，且本文在$F = \mathbb{Q}_p$的情况下证实了[CL, 注记5.2.3及第6.3节]中的一个猜想。
• 高度为一的Kisin模被证明在几何上对应于$p$-除子群的Dieudonné晶体，提供了几何解释。
• 在附加假设$er < p-1$下，完全忠实条件可进一步优化：若$e(r-1) < n_f(p-1)/p$且$er < p-1$，则限制函子完全忠实，且由于所有高度$r$的挠Kisin模均为极大模，证明更为简洁。
• 完全忠实性的证明依赖于涉及Hom集的交换图表，其中底边与右边箭头的双射性（由定理4.13与4.8推出）蕴含顶边箭头的双射性，从而证明完全忠实性。