[论文解读] Laws of large numbers and Langevin approximations for stochastic neural field equations

Evelyn Buckwar, Martin Riedler|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2012

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 16被引用 11

一句话总结

该论文为随机神经场模型建立了严格的概率极限定理，表明在大种群尺度下，确定性的威尔逊-科安方程作为流体极限出现。此外，通过鞅分量的中心极限定理，推导出随机神经场朗之万方程，为神经系统的无限维版本提供了数学基础，类似于化学朗之万方程的推广。

ABSTRACT

In this study we consider limit theorems for microscopic stochastic models of neural fields. We show that the Wilson-Cowan equation can be obtained as the limit in probability on compacts for a sequence of microscopic models when the number of neuron populations distributed in space and the number of neurons per population tend to infinity. Though the latter divergence is not necessary. This result also allows to obtain limits for qualitatively different stochastic convergence concepts, e.g., convergence in the mean. Further, we present a central limit theorem for the martingale part of the microscopic models which, suitably rescaled, converges to a centered Gaussian process with independent increments. These two results provide the basis for presenting the neural field Langevin equation, a stochastic differential equation taking values in a Hilbert space, which is the infinite-dimensional analogue of the Chemical Langevin Equation in the present setting. On a technical level we apply recently developed law of large numbers and central limit theorems for piecewise deterministic processes taking values in Hilbert spaces to a master equation formulation of stochastic neuronal network models. These theorems are valid for processes taking values in Hilbert spaces and by this are able to incorporate spatial structures of the underlying model.

研究动机与目标

• 为了证明确定性神经场方程（如威尔逊-科安方程）可作为有限尺寸随机神经网络的近似，具有理论依据。
• 为了通过希尔伯特空间中微观模型的鞅分量的中心极限定理，数学化表征大规模神经种群中的内在噪声。
• 为了在希尔伯特空间中推导出一个随机神经场方程，该方程将化学朗之万方程推广至空间结构化的神经元系统。
• 为了提供数学上精确的收敛结果——量化收敛类型、条件和速度——超越范坎彭系统规模展开等启发式方法。

提出的方法

• 将近期发展的关于希尔伯特空间中连续路径的随机过程的弱收敛大数定律和中心极限定理，应用于随机神经网络的主方程形式。
• 使用主方程对具有离散、马尔可夫性放电动力学的有限尺寸神经元种群进行建模，并通过希尔伯特空间值过程引入空间结构。
• 推导流体极限（大数定律），表明当种群规模趋于无穷时，该过程在紧集上以概率收敛至威尔逊-科安方程。
• 对过程的鞅分量应用中心极限定理，表明在适当缩放下，其收敛至具有独立增量的中心高斯过程。
• 通过结合流体极限与噪声缩放，将神经场朗之万方程构建为希尔伯特空间中的随机演化方程，其形式类似于化学朗之万方程。
• 推导朗之万近似和线性噪声近似的均值与二阶矩方程，证明在仿射非线性条件下二者等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，威尔逊-科安方程会作为一系列微观随机神经场模型的极限出现？
• RQ2 在无限维设定下，如何数学化表征大规模神经种群中的内在噪声？
• RQ3 在神经场动力学背景下，化学朗之万方程的无限维类比是什么？
• RQ4 在何种情况下，朗之万近似的矩方程能够封闭，并与平均场方程的矩方程一致？
• RQ5 该框架的收敛性质与范坎彭系统规模展开的收敛性质相比如何？

主要发现

• 威尔逊-科安方程被严格推导为微观随机模型的流体极限，当每类种群的神经元数量和种群数量趋于无穷时，收敛性在紧集上以概率成立。
• 微观模型的鞅分量在适当缩放后收敛至具有独立增量的中心高斯过程，从而支持了神经场朗之万方程的构建。
• 所得的神经场朗之万方程是希尔伯特空间中的随机演化方程，作为化学朗之万方程在神经场中的无限维对应形式。
• 当威尔逊-科安方程中的非线性为仿射形式时，朗之万近似和线性噪声近似的均值与二阶矩方程完全一致且可封闭，与有限维化学动力学中的情形一致。
• 朗之万近似和线性噪声近似的矩方程在结构上相似但不完全相同；仅在非线性为仿射时二者才一致，此时系统实现封闭。
• 该框架在数学上精确地建立了微观随机模型与宏观方程之间的联系，量化了收敛类型、条件和速度，克服了范坎彭展开方法的局限性。