[论文解读] Lawvere-Tierney sheaves, factorization systems, sections and $j$-essential monomorphisms in a topos

Zeinab Khanjanzadeh, Ali Madanshekaf|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文研究了拓扑斯中的Lawvere-Tierney层、因子分解系统以及$j$-本质单射，在此基础上证明：一个态射$f: X \to B$是$j_B$-层当且仅当其图像在$\mathcal{E}/B$中是一个截面，且截面对象$S(f)$在$\mathcal{E}$中是$j$-层。此外，本文引入了$j$-本质单射，并证明在预层拓扑斯中，任一预层均存在一个最大的本质扩张。

ABSTRACT

Let $j$ be a Lawvere-Tierney topology (a topology, for short) on an arbitrary topos $\mathcal{E}$, $B$ an object of $\mathcal{E}$, and $j_B = j imes 1_B$ the induced topology on the slice topos $\mathcal{E}/B$. In this manuscript, we analyze some properties of the pullback functor $Π_B:\mathcal{E} ightarrow \mathcal{E}/B$ which have deal with topology. Then for a left cancelable class $\mathcal{M}$ of all $j$-dense monomorphisms in a topos $\mathcal{E}$, we achieve some necessary and sufficient conditions for that $(\mathcal{M} , \mathcal{M}^{\perp})$ is a factorization system in $\mathcal{E}$, which is related to the factorization systems in slice topoi $\mathcal{E}/B,$ where $B$ ranges over the class of objects of $\mathcal{E}$. Among other things, we prove that an arrow $f : X ightarrow B$ in $\mathcal{E}$ is a $j_B$-sheaf whenever the graph of $f$, is a section in $\mathcal{E}/B$ as well as the object of sections $S(f)$ of $f$, is a $j$-sheaf in $\mathcal{E}$. Furthermore, we introduce a class of monomorphisms in $\mathcal{E}$, which we call them $j$-essential. Some equivalent forms of those and some of their properties are presented. Also, we prove that any presheaf in a presheaf topos has a maximal essential extension. Finally, some similarities and differences of the obtained result are discussed if we put a (productive) weak topology $j$, studied by some authors, instead of a topology.

研究动机与目标

• 通过截面对象$S(f)$与态射$f$在切片拓扑斯$\mathcal{E}/B$中的图像，刻画拓扑斯中的$j$-层。
• 定义并研究$j$-本质单射及其与内射性及因子分解系统的关系。
• 证明在任意预层拓扑斯中，任一预层均存在一个最大的$j$-本质扩张。
• 比较Lawvere-Tierney拓扑与可积弱拓扑下的结果，识别出类比关系在何处失效。

提出的方法

• 分析了从$\mathcal{E}$到$\mathcal{E}/B$的拉回函子$\Pi_B: \mathcal{E} \to \mathcal{E}/B$，并研究其在$j$-稠密单射与$j_B$-层上的行为。
• 通过切片拓扑斯结构，将$j$-本质单射定义为在拉回下能反映$j$-稠密单射的单射。
• 应用佐恩引理，证明在$\widehat{\mathcal{C}}$中任一预层均存在最大的$j$-本质扩张。
• 利用范畴对偶性与截面对象，证明$f: X \to B$是$j_B$-层当且仅当其图像在$\mathcal{E}/B$中是截面，且$S(f)$在$\mathcal{E}$中是$j$-层。
• 比较全Lawvere-Tierney拓扑与可积弱拓扑下的结果，指出某些因子分解条件的充分性在弱拓扑下不成立。
• 利用内部逻辑与子对象分类器性质，验证$j$-稠密单射在复合与拉回下的封闭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拓扑斯$\mathcal{E}$中，态射$f: X \to B$在切片拓扑斯$\mathcal{E}/B$中何时是$j_B$-层？
• RQ2 当$\mathcal{M}$为$j$-稠密单射类时，对$(\mathcal{M}, \mathcal{M}^\perp)$何时构成因子分解系统？
• RQ3 如何刻画$j$-本质单射？其与内射性及本质扩张的关系为何？
• RQ4 任一预层在预层拓扑斯中是否均存在最大的$j$-本质扩张？这与$j$-内射性有何关联？
• RQ5 当用可积弱拓扑替代Lawvere-Tierney拓扑时，因子分解与单射封闭性等方面的结果有何不同？

主要发现

• 在$\mathcal{E}$中，态射$f: X \to B$是$\mathcal{E}/B$中的$j_B$-层当且仅当其图像在$\mathcal{E}/B$中是截面，且截面对象$S(f)$在$\mathcal{E}$中是$j$-层。
• $j$-本质单射被刻画为：在拉回$\Pi_B$下能反映$j$-稠密单射的单射，且其保持$j$-层性质。
• 在预层拓扑斯$\widehat{\mathcal{C}}$中，任一预层$F$均存在最大的$j$-本质扩张，该结论通过在本质扩张的偏序集中应用佐恩引理得以证明。
• $j$-内射预层（即$j$-层）不存在非平凡的$j$-本质扩张，因为此类扩张将通过非单射的收缩与内射性条件矛盾。
• 拉回函子$\Pi_B$保持$j$-本质单射，即若$\Pi_B(f)$是$j_B$-本质的，则$f$是$j$-本质的。
• 对于可积弱拓扑$j$，许多类似于全拓扑的结果依然成立，但某些因子分解条件的充分性不成立，因为稠密单射的封闭性在逆向上一般不成立。