[论文解读] LBB Stability of a Mixed Discontinuous/Continuous Galerkin Finite Element Pair

Colin J. Cotter, David A. Ham+2 more|ArXiv.org|Jul 31, 2007

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出P1_DG-P2混合有限元对——采用不连续线性速度和连续二次压力——用于在非结构化三角形/四面体网格上求解波动方程和不可压缩流体方程。该方法通过采用不连续伽辽金近似增加速度自由度，确保LBB稳定性，消除虚假零能量模态，从而在无需质量矩阵降阶的情况下实现精确且稳定的模拟。

ABSTRACT

We introduce a new mixed discontinuous/continuous Galerkin finite element for solving the 2- and 3-dimensional wave equations and equations of incompressible flow. The element, which we refer to as P1dg-P2, uses discontinuous piecewise linear functions for velocity and continuous piecewise quadratic functions for pressure. The aim of introducing the mixed formulation is to produce a new flexible element choice for triangular and tetrahedral meshes which satisfies the LBB stability condition and hence has no spurious zero-energy modes. We illustrate this property with numerical integrations of the wave equation in two dimensions, an analysis of the resultant discrete Laplace operator in two and three dimensions, and a normal mode analysis of the semi-discrete wave equation in one dimension.

研究动机与目标

• 解决在非结构化网格上对波动方程和不可压缩流体方程进行混合有限元离散化时的LBB稳定性问题。
• 克服标准混合元中导致收敛性和精度下降的虚假零能量模态和“棘手模态”问题。
• 提出一种新型混合不连续/连续伽辽金对（P1_DG-P2），以增强稳定性，同时保持压力的高阶精度。
• 实现在无需质量矩阵降阶或结构化交错网格的情况下，稳定且高阶的离散化。
• 探索P1_DG-P2在地球物理海洋建模中的潜力，特别是其在维持地转平衡方面的能力。

提出的方法

• 对速度使用不连续分段线性函数（P1_DG），对压力使用连续分段二次函数（P2）。
• 利用混合有限元变分法构建波动方程和不可压缩流体方程的弱形式。
• 在不连续伽辽金框架中通过数值通量和稳定化项实现边界条件。
• 通过适当选择多项式阶次，满足LBB稳定性中的inf-sup条件。
• 使用显式时间积分求解得到的半离散系统，其中速度采用块对角质量矩阵。
• 利用速度质量矩阵的稀疏性，避免质量矩阵降阶，从而在压力梯度计算中保持精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非结构化三角形/四面体网格上，混合不连续/连续伽辽金有限元对能否实现LBB稳定性？
• RQ2 P1_DG-P2单元是否能消除波动方程模拟中的虚假零能量模态和“棘手模态”？
• RQ3 在非结构化2D和3D网格上，P1_DG-P2单元下离散拉普拉斯算子的谱行为如何？
• RQ4 由于更高阶的压力表示，P1_DG-P2单元是否能在旋转流中维持地转平衡？
• RQ5 不连续速度对地球物理模型中动量守恒和压力梯度误差有何影响？

主要发现

• P1_DG-P2单元通过一维正常模态分析验证了LBB稳定性条件，表现为单调递增的色散关系和谱间隙。
• 在非结构化三角形网格上对2D波动方程进行数值积分，显示长时间区间内解平滑，无虚假模态。
• 在2D和3D非结构化网格上对离散拉普拉斯算子的特征值分析确认了仅包含常数函数的一维零空间，表明无虚假模态。
• 速度场在单元界面处存在微小不连续性，但解仍保持平滑且解析良好，表明方法具有鲁棒性。
• 速度的块对角质量矩阵允许对压力泊松系统进行精确、非降阶的求解，从而提高了压力梯度项的精度。
• 更高阶的压力表示（P2）相比P1-P1等低阶对，能更优地逼近地转平衡，减少压力梯度误差。