[论文解读] LCD codes over ${\mathbb F}_q $ are as good as linear codes for q at least four

Ruud Pellikaan|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用 37

一句话总结

该论文证明了在满足 q ≥ 4 的有限域上，每个线性码都与一个 LCD 码单式等价，这意味着 LCD 码可实现与一般线性码相同的最优参数。通过格罗布纳基理论，作者构造了生成矩阵的对角缩放，使得所得码的余核为平凡，从而确保其为 LCD 码，并在 q 为平方数且 q > 4 时将此结果推广至酉 LCD 码。

ABSTRACT

The hull $H(C)$ of a linear code $C$ is defined by $H(C)=C \cap C^\perp$. A linear code with a complementary dual (LCD) is a linear code with $H(C)=\{0\}$. The dimension of the hull of a code is an invariant under permutation equivalence. For binary and ternary codes the dimension of the hull is also invariant under monomial equivalence and we show that this invariant is determined by the extended weight enumerator of the code.\\ The hull of a code is not invariant under monomial equivalence if $q\geq 4$. We show that every ${\mathbb F}_q $-linear code is monomial equivalent with an LCD code in case $q \geq 4$. The proof uses techniques from Gröbner basis theory. We conclude that if there exists an ${\mathbb F}_q $-linear code with parameters $[n,k,d]_q$ and $q \geq 4$, then there exists also a LCD code with the same parameters. Hence this holds for optimal and MDS codes. In particular there exist LCD codes that are above the Gilbert-Varshamov bound if $q$ is a square and $q\geq 49$ by the existence of such codes that are algebraic geometric.\\ Similar results are obtained with respect to Hermitian LCD codes.

研究动机与目标

• 证明当 q ≥ 4 时，F_q 上的每个线性码均与一个 LCD 码单式等价。
• 将该结果扩展至当 q 为平方数且 q > 4 时的酉 LCD 码。
• 证明最优码或 MDS 码的存在性意味着存在具有相同参数的对应 LCD 码。
• 证明当 q 为平方数且 q ≥ 49 时，通过代数几何码，LCD 码可超越 Gilbert-Varshamov 界。
• 阐明在 q ≥ 4 时余核维数在单式等价下是否保持不变，表明其与二元和三元情形不同。

提出的方法

• 将线性码 C 的生成矩阵 G = (I_k | B) 表示为系统形式。
• 应用对角变换 D(x)，其中 x ∈ (F_q^*)^k，对前 k 列进行缩放，形成新码 C_x，其生成矩阵为 (D(x) | B)。
• 定义多项式 f(X) = det((D(X)|B)(D(X)|B)^T) = det(D(X^2) + BB^T)，其为每个变量次数为 2 的多变量多项式。
• 利用格罗布纳基理论及组合零点定理（通过引理 4.5）证明 f(X) 非零，因此在某点 x ∈ (F_q^*)^k 上非零。
• 证明若 f(x) ≠ 0，则 C_x 的余核为平凡，即 H(C_x) = {0}，因此由推论 4.2 可知 C_x 为 LCD 码。
• 对于酉 LCD 码，定义 g(X) = det((D(X)|B)(D(X^{√q})|B̄)^T)，其每变量次数为 √q + 1，并在 q > 4 且为平方数时应用相同的非零性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 q ≥ 4 的 F_q 上的所有线性码，是否可通过单式等价转化为 LCD 码？
• RQ2 在 q ≥ 4 时，余核维数在单式等价下是否保持不变？其与二元和三元情形有何不同？
• RQ3 当 q ≥ 4 时，最优码与 MDS 码是否可实现为 LCD 码？
• RQ4 当 q 为平方数且 q > 4 时，所有 F_q 上的线性码是否均与酉 LCD 码单式等价？
• RQ5 LCD 码是否可超越 Gilbert-Varshamov 界？在何种条件下成立？

主要发现

• 对于每个满足 q ≥ 4 的 F_q 线性码，均存在一个具有相同参数 [n,k,d]_q 的单式等价 LCD 码。
• 该构造依赖于从生成矩阵导出的多项式 f(X)，其由组合零点定理保证非零，因此在 (F_q^*)^k 上必存在非零点。
• 若 f(x) ≠ 0，则所得码 C_x 为 LCD 码，且至少存在一个 x ∈ (F_q^*)^k 满足此条件，从而证明了此类码的存在性。
• 当 q 为平方数且 q > 4 时，每个 F_q 线性码均与一个酉 LCD 码单式等价，使用了次数为 √q + 1 的类似多项式 g(X)。
• 这意味着当 q ≥ 4 时，存在参数为 [n,k,n−k+1]_q 的 MDS 码，等价于存在具有相同参数的 LCD MDS 码。
• 当 q ≥ 49 且为平方数时，由于代数几何码的存在性及上述等价性结果，存在超越 Gilbert-Varshamov 界的 LCD 码。