[论文解读] Leading anomalies, the drift Hamiltonian and the relativistic two-body system

Bernard Michael Nabet, Barak Kol|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2014

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文通过聚焦于牛顿守恒量的领先阶破坏——称为‘相对论异常’——而非计算给定后牛顿阶的完整解，提出了一种解决广义相对论中相对论性两体问题的新方法。它推导出作为微扰哈密顿量时间平均的漂移哈密顿量，从而能够高效计算相对论效应，如近日点进动和自旋-轨道进动，其结果与测试质量极限下的已知表达式一致。

ABSTRACT

We suggest to solve for the motion of the two body problem in General Relativity by identifying the leading violation of conserved quantities, referred to as (relativistic) anomalies, ordered by the post-Newtonian order at which they appear. This differs from the standard procedure of obtaining the full solution up to a prescribed order. We find that the reduced Hamiltonian which describes the drift in the space of conserved quantities is given by the average of the perturbation Hamiltonian. Using this approach the averaging is done prior to the derivation of time evolution, thereby economizing the computation. The computations become similar to those in the Hamilton-Jacobi method, while staying in the more comfortable setting of the Hamiltonian formulation. We apply this approach of leading anomalies and the drift Hamiltonian to the binary problem and treat several perturbations: 1PN, spin-orbit and spin-spin. On the way we discuss the interpretation of the Laplace-Runge-Lenz vector as a generator of scale-preserving conformal transformations in momentum space.

研究动机与目标

• 通过聚焦于牛顿守恒量的领先阶破坏（称为‘相对论异常’），解决广义相对论中的相对论性两体问题。
• 通过推导控制守恒量在运动常数约化空间中缓慢演化的漂移哈密顿量，发展一种计算高效的后牛顿动力学方法。
• 利用拉普拉斯-朗道-伦德马克矢量异常，对一阶后牛顿（1PN）近日点进动提供一种新推导，避免求解完整运动方程。
• 在异常框架内系统处理自旋-轨道与自旋-自旋相互作用，计算其关联异常。
• 阐明拉普拉斯-朗道-伦德马克矢量在动量空间中作为保持尺度的共形变换生成元的几何与对称性解释。

提出的方法

• 将每种牛顿守恒量的领先阶后牛顿破坏识别为相对论异常，按其出现的后牛顿阶排序。
• 将漂移哈密顿量定义为微扰哈密顿量的时间平均，该量控制约化空间中守恒量的缓慢演化。
• 利用解析续延与留数计算（例如复平面上的围道积分）高效计算所需的时间平均。
• 将漂移哈密顿量形式化应用于计算两体系统中一阶后牛顿、自旋-轨道与自旋-自旋相互作用的异常。
• 利用泊松括号结构推导与拉普拉斯-朗道-伦德马克矢量相关的相空间对称性生成元，并将其解释为动量空间中的共形变换。
• 通过在测试质量极限下与已知表达式对比，验证结果，特别是自旋-轨道与自旋-自旋进动频率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过守恒量的领先阶异常而非完整运动方程，重新诠释相对论性两体问题？
• RQ2 时间平均的微扰哈密顿量在描述守恒量缓慢漂移中的数学与物理角色是什么？
• RQ3 拉普拉斯-朗道-伦德马克矢量的对称性如何与动量空间中的共形变换相关联？其在相对论性情形下的物理解释是什么？
• RQ4 一阶后牛顿、自旋-轨道与自旋-自旋相互作用的领先异常的显式表达式是什么？它们与已知结果相比如何？
• RQ5 能否通过此漂移哈密顿量方法将近日点进动表示为LRL矢量的异常？与标准方法相比，该推导是否更高效？

主要发现

• 证明漂移哈密顿量即为微扰哈密顿量的时间平均，提供了一种无需求解完整运动方程即可计算相对论修正的经济方法。
• 一阶后牛顿（1PN）近日点进动被推导为拉普拉斯-朗道-伦德马克矢量的异常，得到表达式 $\Omega_{\text{1PN}} = \frac{3}{2} \frac{(-2E)^{3/2}}{L^4} \mu \mu_2$。
• 对于自旋-轨道耦合，领先异常计算为 $\Omega_{\text{SO}} = \frac{3}{2} \frac{(-2E)^{3/2}}{L^4} (\mathbf{S}_1 \cdot \mathbf{\hat{L}}) \mu \mu_2$ 与 $\Omega_{\text{SO}} = \frac{3}{2} \frac{(-2E)^{3/2}}{L^4} (\mathbf{S}_2 \cdot \mathbf{\hat{L}}) \mu \mu_2$。
• 对于自旋-自旋耦合，异常推导为 $\Omega_{\text{SS}} = \frac{3}{2} \frac{(-2E)^{3/2}}{L^4} \left[ (\mathbf{S}_1 \cdot \mathbf{\hat{L}}) \mathbf{S}_2 + (\mathbf{S}_2 \cdot \mathbf{\hat{L}}) \mathbf{S}_1 + \left( (\mathbf{S}_1 \cdot \mathbf{S}_2) - 5(\mathbf{S}_1 \cdot \mathbf{\hat{L}})(\mathbf{S}_2 \cdot \mathbf{\hat{L}}) \right) \mathbf{\hat{L}} \right]$。
• 在测试质量极限下，所有计算出的异常均与巴克（Barker, 1970）的已知结果一致，证实了该方法的有效性。