[论文解读] Leading coefficients of the Kazhdan-Lusztig polynomials for an Affine Weyl group of type $\widetilde{B_2}$

Liping Wang|arXiv (Cornell University)|May 22, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文利用 a-函数与胞腔分解，计算了类型 $\tilde{B}_2$ 的仿射 Weyl 群的 Kazhdan–Lusztig 多项式之首项系数 μ(u,w)，证明了该群上 Lusztig 关于特殊对合元的猜想，并表明 W-图是非局部有限的，同时指出了 Lusztig 早期工作中一个公式所需的更正。

ABSTRACT

In this paper we compute the leading coefficients $μ(u,w)$ of the Kazhdan--Lusztig polynomials $P_{u,w}$ for an affine Weyl group of type $ ilde{B}_2$. By using the extbf{a}-function of a Coxeter group defined by Lusztig (see [L1, \S2]), we compute most $μ(u,w)$ explicitly. With part of these values $μ(u,w)$, we show that a conjecture of Lusztig on distinguished involutions is true for an affine Weyl group of type $ ilde{B}_2$. We also show that the conjectural formula in [L3, (12)] needs a modification.

研究动机与目标

• 计算仿射 Weyl 群类型 $\tilde{B}_2$ 的 Kazhdan–Lusztig 多项式之首项系数 μ(u,w)。
• 利用计算出的 μ(u,w) 值，验证 Lusztig 于 1987 年提出的关于 $\tilde{B}_2$ 的特殊对合元猜想。
• 研究 $\tilde{B}_2$ 的 W-图结构，判断其是否为局部有限。
• 识别并修正 Lusztig 在 [L3, (12)] 中提出的 $b_{\nu,\nu'}$ 公式的缺陷。

提出的方法

• 利用 Lusztig 定义的 Coxeter 群的 a-函数，根据 a(w) 的取值将 $\tilde{B}_2$ 的元素划分为四个双侧胞腔：a(w) = 0, 1, 2, 4。
• 应用 Kazhdan–Lusztig 多项式的递推性质及 μ(u,w) 作为 $P_{u,w}$ 首项系数的定义，使用公式 $P_{u,w} = \nu(u,w)q^{(l(w)-l(u)-1)/2} + \text{低次项}$。
• 利用对称性 $\mu(u,w) = \mu(u^{-1},w^{-1})$ 与 Bruhat 序，限制非零系数的可能取值。
• 使用相对于生成集的左、右链，分析特定胞腔中 μ(u,w) 的取值，特别是当 $a(u)=2$，$a(w)=1$ 时。
• 应用 [SX, 定理 3.1] 与 [W] 的结果，计算 $c_0$ 胞腔（即 $a(w)=4$）中元素的 μ(u,w)。
• 应用对偶性与胞腔结构，验证 W-图的非局部有限性，并检验 Lusztig 猜想公式的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 仿射 Weyl 群类型 $\tilde{B}_2$ 的 Kazhdan–Lusztig 多项式之首项系数 μ(u,w) 是否能对所有 $u < w$ 完全计算？
• RQ2 Lusztig 于 1987 年提出的关于特殊对合元的猜想是否在仿射 Weyl 群类型 $\tilde{B}_2$ 上成立？
• RQ3 $\tilde{B}_2$ 的 W-图是否为局部有限？是否存在具有无限多个非零 μ(u,w) 系数的元素？
• RQ4 [L3, (12)] 中 $b_{\nu,\nu'}$ 的猜想公式是否准确描述了 $\tilde{B}_2$ 的首项系数？
• RQ5 当 $a(u)=2$ 且 $a(w)=1$ 时，$\tilde{B}_2$ 中 μ(u,w) 系数的精确结构为何？

主要发现

• 本文对所有满足 $u < w$ 的 $u,w$ 显式计算了 μ(u,w)，除了当 $u,w \notin c_0$ 的情形，并利用 [SX, 定理 3.1] 给出了 $c_0 \times c_0$ 的公式。
• Lusztig 关于特殊对合元的猜想在仿射 Weyl 群类型 $\tilde{B}_2$ 上被证实为真。
• 证明了 $\tilde{B}_2$ 的 W-图是非局部有限的，因为存在元素 $u$，使得有无穷多个 $w$ 满足 $\mu(u,w) \neq 0$。
• [L3, (12)] 中 $b_{\nu,\nu'}$ 的公式被证明有误，需修正，如命题 5.1 与注记 5.3 所示。
• 对于 $a(u)=2$，$a(w)=1$ 的情形，本文根据左、右下降集 $L(w)$ 与 $R(w)$，完整分类了非零 μ(u,w) 的取值，包括 $L(w)=R(w)=\{s\}$、$L(w)=\{s\}, R(w)=\{s'\}$ 等具体情形。
• 本文确定了所有满足 $l(w) - l(u) \leq 3$ 的 $\mu(u,w)$，在该有界长度范围内提供了完整的分类。